/Szkoła średnia/Równania/Układy równań/Inne

Zadanie nr 9318654

Rozwiąż układ równań { 1 x+ x = 2y y+ 1y = 2x.

Rozwiązanie

Z pierwszego równania mamy

( ) 2 y = 1- x + 1- = x--+-1. 2 x 2x

Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania.

2 x--+-1-+ --2x---= 2x / ⋅2x (x2 + 1) 2x x2 + 1 (x2 + 1)2 + 4x 2 = 4x2(x2 + 1) x4 + 2x 2 + 1 + 4x 2 = 4x4 + 4x2 4 2 3x − 2x − 1 = 0.

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy t = x2 .

2 3t − 2t− 1 = 0 Δ = 4 + 12 = 1 6 t = 2-−-4-< 0 ∨ t = 2-+-4-= 1. 6 6

Ujemne rozwiązanie odrzucamy (bo 2 t = x ≥ 0 ) i mamy 2 x = t = 1 . Zatem x = − 1 lub x = 1 . Mamy wtedy odpowiednio y = x2+1 = − 1 2x i x2+1 y = 2x = 1 .
Odpowiedź: (x,y ) = (− 1,− 1) lub (x,y ) = (1,1)

Wersja PDF