/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Przekształcenia/Jednokładność

Zadanie nr 7176054

Prosta o równaniu x+ y− 10 = 0 przecina okrąg o równaniu x 2 + y2 − 8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = − 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy równanie okręgu tak, żeby widzieć jaki jest jego środek i promień.

2 2 x + y − 8x − 6y+ 8 = 0 (x 2 − 8x + 16)+ (y2 − 6y+ 9) = 16 + 9 − 8 = 17 (x − 4)2 + (y− 3)2 = 17.

Jest to więc okrąg o środku O = (4,3) i promieniu √ --- r = 1 7 .

PIC

Znajdźmy teraz punkty wspólne tego okręgu z daną prostą – podstawiamy y = 10− x w równaniu okręgu.

0 = x2 + y2 − 8x − 6y + 8 = x2 + (10− x)2 − 8x− 6(10 − x) + 8 = 2 2 2 = x + 100 − 20x + x − 8x− 60+ 6x = 2x − 22x + 48 / : 2 0 = x2 − 11x + 24 Δ = 121 − 96 = 25 11-−-5- 1-1+--5 x = 2 = 3 lub x = 2 = 8.

Stąd y = 10 − x = 7 i y = 10 − x = 2 odpowiednio. Zatem K = (3,7) , L = (8,2) i

( ) ( ) S = K-+-L-= 3+--8, 7-+-2 = 1-1, 9 . 2 2 2 2 2

Obrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali − 3 jest okrąg o promieniu --- 3r = 3√ 17 i środku P = (x,y ) spełniającym warunek

−→ −→ SP = − 3SO [ 1 1 9 ] [ 11 9 ] [ 3 3] [ 9 9 ] x − ---,y − -- = − 3 4− --,3 − -- = − 3 − -,− -- = -,-- . 2 2 2 2 2 2 2 2

Stąd

{ x − 11 = 9 ⇒ x = 20= 10 2 2 2 y − 92 = 92 ⇒ y = 128= 9.

Zatem P = (10,9) i szukany okrąg ma równanie

√ --- (x− 10)2 + (y− 9)2 = (3 17)2 = 1 53.

 
Odpowiedź: 2 2 (x − 10) + (y − 9) = 1 53

Wersja PDF