/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 3142537

Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC . Kąty trójkąta ABC mają miary |∡CAB | = 42 ∘, |∡ABC | = 7 8∘ . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy twierdzenia o stycznej mamy

∘ ∡BCE = ∡BAC = 42 .

Ponadto, patrząc na trójkąt ABC mamy

∘ ∘ ∘ ∘ ∡ACB = 180 − 42 − 7 8 = 60 .

Zatem

1 ∘ ∡DCB = -∡ACB = 30 2

oraz

∡DCE = ∡DCB + ∡BCE = 30∘ + 42 ∘ = 72∘.

Z trójkąta AEC mamy

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡AEC = 180 − ∡EAC − ∡ECA = 180 − 4 2 − (60 + 42 ) = 36 .

Teraz patrzymy na trójkąt DEC

∡CDE = 180∘ − 36 ∘ − 7 2∘ = 72∘.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o stycznej i siecznej, dorysujmy środek okręgu S i promienie CS i BS .

PIC

Ponieważ kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, mamy

∘ ∡BSC = 2∡BAC = 84 .

Trójkąt BSC jest równoramienny więc

1 ∘ ∘ ∡SCB = -(180 − ∡BSC ) = 48 . 2

Teraz korzystamy z tego, że promień okręgu SC jest prostopadły do stycznej przechodzącej przez punkt C . Mamy więc

∘ ∘ ∡BCE = 90 − ∡SCB = 4 2 .

Resztę kątów wyliczamy tak samo jak w I sposobie.  
Odpowiedź: ∘ ∘ ∘ ∡DCE = 72 , ∡DEC = 36 , ∡CDE = 7 2

Wersja PDF