Zadanie nr 1637258
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 2 (x− 3)[x + (m − 1)x − 6m + 2m )] = 0](https://img.zadania.info/zad/1637258/HzadT1x.gif)
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Rozwiązanie
Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek . Jeżeli równanie ma mieć dwa pierwiastki, to trójmian w nawiasie musi mieć dokładnie jeden pierwiastek różny od
.
Sprawdźmy najpierw, kiedy jest pierwiastkiem trójmianu w nawiasie.
![0 = 9+ 3(m − 1 )− 6m 2 + 2m 6m 2 − 5m − 6 = 0 2 Δ = 25 + 14 4 = 169 = 13 5−--13- -8- 2- 5+--13- 18- 3- m = 12 = − 1 2 = − 3 lub m = 12 = 12 = 2.](https://img.zadania.info/zad/1637258/HzadR3x.gif)
Sprawdźmy jeszcze jak wygląda trójmianu w nawiasie.
![Δ = (m − 1)2 − 4(− 6m 2 + 2m ) = 2 2 2 = m − 2m + 1+ 24m − 8m = 25m − 10m + 1 = ( 1) 2 = (5m − 1)2 = 5 m − -- . 5](https://img.zadania.info/zad/1637258/HzadR5x.gif)
No to mamy już teraz wszystkie dane, żeby ustalić co jest grane. Jeżeli , to trójmian w nawiasie ma jeden pierwiastek i nie jest on równy 3, więc całe równanie ma dwa rozwiązania.
Jeżeli natomiast , to trójmian w nawiasie ma dwa rozwiązania, ale jeżeli dodatkowo
lub
, to jedno z tych rozwiązań jest równe 3 i wtedy całe równanie ma nadal dwa rozwiązania. Dla innych wartości
równanie ma trzy rozwiązania.
Odpowiedź: