Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 18 kwietnia 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W (x) = x4 + ax3 + ax2 + bx − 5 jest podzielny przez wielomian x 2 − 1 . Wynika stąd, że
A) a + b = 0 B) a = b C) a + 2b = 4 D) b = 2a

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba  √- √ -- √- √ -- log 32 3⋅log 33 2 jest równa
A) 49 B) 94 C) (log2 3)2 D) (log 2)2 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Funkcja f (x) = − 4x3 − ax + 3x + 4 jest funkcją malejąca jeżeli
A) a ≥ 3 B) a ≤ 3 C) a ∈ ⟨− 3,3⟩ D) a ∈ ⟨− 4,− 3⟩

Zadanie 4
(1 pkt)

Wyrażenie cosx − cos 3x jest równe
A)  2 4 sin x cosx B) 1− cos4x C) − 2sin 2xsin x D) 2co s2x cosx

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem  x+3 f(x ) = 2 − 2 . Prosta l ma równanie y = − 2,1 . Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji f i prosta l ?
A) Zero. B) Jeden. C) Dwa. D) Nieskończenie wiele.

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których wśród rozwiązań równania

|m − 5x| = 3

są zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę  3x xli→m− ∞ log(1−x)- .

Zadanie 8
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = -x2- x+3 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= − 3 . Oblicz pochodną funkcji f w punkcie x = 6 .

Zadanie 9
(2 pkt)

W loterii szkolnej losujemy jeden spośród 100 losów, przy czym w przypadku wyciągnięcia losu przegrywającego możemy wylosować jeszcze jeden los. Ile losów w tej loterii jest wygrywających, jeżeli prawdopodobieństwo wygranej jest równe 19 55 ?

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a < b ≤ − 2 , to  3 3 2a+a4 > 2+bb-4 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli a i b są liczbami całkowitymi i  √ -- x + y = 3 a oraz  √3-- x− y = b , to 2y3 + 6x 2y też jest liczbą całkowitą.

Zadanie 12
(3 pkt)

Dana jest parabola o równaniu y = 2x2 − 3 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej − 2 . Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A .

Zadanie 13
(3 pkt)

Monotoniczny ciąg geometryczny (an) jest zdefiniowany przez warunki

{ √ -- a1 = 5 an+2 = an − an +1.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 14
(3 pkt)

Wykaż, że

co s2x cosx − sin 4x sin x = co s3x cos2x .

Zadanie 15
(5 pkt)

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym S , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Zadanie 16
(5 pkt)

Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma kwadratów liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie mniejsza niż 20.

Zadanie 17
(6 pkt)

Punkt S jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku ABCD , a punkt P jest takim punktem boku BC tego równoległoboku, że |BP | : |P C | = 3 . Oblicz współrzędne spodka wysokości opuszczonej z wierzchołka A tego równoległoboku na prostą CD , jeżeli −→ AB = [4,4] ,  −→ DS = [3 ,− 3] i  ( ) P = 7, 7 2 2 .

Zadanie 18
(6 pkt)

Oblicz promień kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi długości a .

ArkuszWersja PDF