/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Funkcje wymierne

Zadanie nr 6972170

Dana jest funkcja f określona wzorem x3+k- f(x) = x dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Oblicz wartość k , dla której prosta o równaniu y = −x jest styczna do wykresu funkcji f .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wzór danej funkcji możemy zapisać w postaci

3 f(x) = x-+--k= x2 + k-. x x

Jej pochodna jest więc równa

k 2x3 − k f ′(x ) = 2x − ---= -------- x2 x2

Styczna do wykresu funkcji w punkcie x = m ma więc postać

3 3 y = f′(m )(x − m )+ f (m ) = 2m--−--k⋅ (x− m )+ m--+-k- m2 m 2m-3-−-k 2m-3-−-k m-3-+-k 2m-3 −-k 2k−--m3- y = m 2 ⋅x − m + m = m 2 ⋅x + m .

Pozostało sprawdzić, kiedy jest to prosta y = −x , co sprowadza się do rozwiązania układu równań

{ 2m3−k- m2 3= − 1 2k−mm--= 0. { 2m 3 − k = −m 2 2k − m 3 = 0.

Podstawiamy teraz 3 2 k = 2m + m z pierwszego równania do drugiego

( 2 ) 0 = 2(2m 3 + m 2)− m 3 = 3m 3 + 2m 2 = 3m 2 m + -- . 3

Rozwiązanie m = 0 odrzucamy ze względu na dziedzinę funkcji f i mamy m = − 23 . Z drugiego równania mamy wtedy

m3- −-287- 4-- k = 2 = 2 = − 27.

Na koniec ilustracja całej sytuacji.

PIC

 
Odpowiedź: k = − 427-

Wersja PDF