/Szkoła średnia/Funkcje/Wymierna/Granice

Zadanie nr 9827915

Oblicz granicę x3−x2+x−-1 lxim→ 1 2x3−2 .

Rozwiązanie

Łatwo sprawdzić, że zarówno licznik jak i mianownik zerują się dla x = 1 , więc oba muszą dzielić się przez (x − 1) . Rozkładamy wielomian w liczniku.

x3 − x2 + x− 1 = x2(x − 1) + (x − 1) = (x 2 + 1 )(x− 1).

Rozkładamy mianownik (korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów).

2x3 − 2 = 2 (x3 − 1) = 2(x − 1)(x2 + x + 1).

Mamy zatem

x 3 − x 2 + x − 1 (x2 + 1)(x − 1) lim -------3-------- = lim -----------2--------- = x→ 1 2x − 2 x→ 12(x − 1 )(x + x+ 1) ----x2-+-1---- --2- 1- = lxi→m12(x 2 + x + 1) = 2 ⋅3 = 3.

Odpowiedź: 1 3

Wersja PDF