/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza suma

Zadanie nr 1217442

Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3,− 2), B = (11,4) . Na prostej o równaniu y = 8x + 10 znajdź punkt P , dla którego suma |AP |2 + |BP |2 jest najmniejsza.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Skoro punkt P leży na prostej o równaniu y = 8x+ 10 to ma współrzędne postaci P = (x,8x + 10) . Mamy zatem

AP 2 = (x − 3)2 + (8x + 1 0+ 2 )2 = (x− 3)2 + (8x+ 12)2 = 65x 2 + 1 86x + 153 2 2 2 2 2 2 BP = (x − 11) + (8x + 10 − 4) = (x− 11) + (8x+ 6) = 65x + 74x + 157.

Stąd

( ) 2 2 2 2 31- AP + BP = 130x + 260x + 310 = 130 x + 2x + 13 .

Wykresem otrzymanej funkcji kwadratowej jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla

−b − 2 x = xw = ----= ----= − 1. 2a 2

Wtedy P = (x,8x + 10 ) = (− 1,2) .  
Odpowiedź: P = (− 1,2)

Wersja PDF