/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 6963821

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ciąg arytmetyczny (an ) , gdzie n ≥ 1 . Wiadomo, że dla każdego n ≥ 1 suma n początkowych wyrazów Sn = a 1 + a2 + ⋅⋅⋅ + an wyraża się wzorem: Sn = −n 2 + 13n .

  • Wyznacz wzór na n –ty wyraz ciągu a n .
  • Oblicz a2007 .
  • Wyznacz liczbę n , dla której an = 0 . .

Rozwiązanie

  • Ponieważ Sn = an + Sn− 1 , to
    an = Sn − Sn−1 = −n 2 + 13n − (− (n − 1)2 + 13(n − 1)) = −2n + 14

     
    Odpowiedź: a = − 2n + 14 n

  • Korzystając z powyższego wzoru:
    a2007 = − 2 ⋅200 7+ 14 = − 4000

     
    Odpowiedź: a2007 = − 4000

  • Ponownie korzystamy z wyprowadzonego wzoru:
    − 2n + 14 = 0 ⇒ n = 7.

     
    Odpowiedź: an = 0 dla n = 7 .

Wersja PDF