Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 8 kwietnia 2017 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Funkcja określona jest wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji
jest
A) B)
C)
D)
Wielomian jest podzielny przez dwumian
dla
równego
A) 6 B) C) 4 D)
Ciąg jest określony wzorem
dla każdej liczby naturalnej
. Wiadomo ponadto, że
i
. Szósty wyraz tego ciągu jest równy
A) B)
C) 3 D) 5
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy
A) B)
C)
D)
Granica jest równa
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Suma wszystkich wyrazów ciągu danego wzorem , gdzie
jest równa
. Oblicz
.
Dany jest trójkąt prostokątny o polu 6, w którym długość przeciwprostokątnej jest liczbą z przedziału . Wykaż, że suma długości przyprostokątnych tego trójkąta jest liczbą z przedziału
.
Funkcja określona jest wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji
, które przechodzą przez punkt
.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
W pudełku znajdują się 4 kostki do gry: 3 sześcienne (ze ścianami ponumerowanymi liczbami od 1 do 6) i jedna czworościenna (ze ścianami ponumerowanymi liczbami od 1 do 4). Losowo wybrano kostkę, wykonano nią 3 rzuty i w wyniku tych 3 rzutów otrzymano trzy razy jedynkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana kostka była kostką czworościenną?
Rozwiąż równanie w przedziale
.
W czworokąt , w którym
i
, można wpisać okrąg. Przekątna
tworzy z bokiem
czworokąta kąt o mierze
, natomiast z bokiem
tworzy kąt, którego sinus jest równy
. Wyznacz długości boków
i
oraz długość przekątnej
tego czworokąta.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wykresy funkcji
i
, określonych wzorami
oraz
, przecinają w dwóch punktach znajdujących się powyżej osi
układu współrzędnych.
Punkty i
są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego
, a wysokość opuszczona z wierzchołka
tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne wierzchołka
.
Podstawa stożka o kącie rozwarcia jest kołem wielkim kuli. Oblicz objętość tego stożka jeżeli jego powierzchnia boczna wycina z powierzchni kuli okrąg o promieniu
.
Na bokach i
trójkąta
wybrano punkty
takie, że
Wyznacz wartość , dla której stosunek pola trójkąta
do pola trójkąta
jest najmniejszy.