/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2018
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 14 kwietnia 2018 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Równanie ma dokładnie
A) dwa rozwiązania rzeczywiste.
B) jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) cztery rozwiązania rzeczywiste.
D) trzy rozwiązania rzeczywiste.
Granica
A) jest równa B) jest równa
C) nie istnieje D) jest równa 0
Liczba jest podzielna przez
A) 71 B) 61 C) 51 D) 41
Dane są punkty i
. Punkt
należący do odcinka
i taki, że
ma współrzędne
A) B)
C)
D)
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu
jest równa
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Pole trójkąta jest równe
, a długości jego boków
i
są odpowiednio równe
i
. Na bokach
i
zbudowano kwadraty o środkach odpowiednio
i
.
Wykaż, że
![2 2 DE 2 = a--+-b- + 2S . 2](https://img.zadania.info/zes/0055491/HzesT33x.gif)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste , dla których
![x ( x )2 ( x )3 cos --+ cos-- + cos-- + ⋅⋅⋅ = 1. 3 3 3](https://img.zadania.info/zes/0055491/HzesT35x.gif)
Udowodnij, że jeżeli , to prawdziwa jest nierówność
.
Na bokach ,
i
trójkąta
wybrano odpowiednio punkty
i
. Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach
,
i
przecinają się w jednym punkcie.
Ciąg jest określony rekurencyjnie w następujący sposób
![{ a 1 = 3 an +1 = an + 2n + 3 dla n ≥ 1](https://img.zadania.info/zes/0055491/HzesT48x.gif)
Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych niż 2018.
Wykaż, że
![1− cos2 3π-- ----------5---= tg2 π-. (cos 35π− 1)2 5](https://img.zadania.info/zes/0055491/HzesT49x.gif)
Spośród liczb naturalnych sześciocyfrowych wybieramy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania liczby, której iloczyn cyfr jest podzielny przez 9, jeżeli wiadomo, że każda cyfra wylosowanej liczby jest większa od 1?
Wykaż, że punkt o współrzędnych jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okręgu o równaniu
![2 2 √ -- √ -- x + y − 2x 2 + 4y 2 + 2 = 0.](https://img.zadania.info/zes/0055491/HzesT51x.gif)
Na środkowej podstawy
ostrosłupa trójkątnego
wybrano punkty
i
w ten sposób, że
. Przez punkty
i
poprowadzono płaszczyzny równoległe do ściany
. Oblicz stosunek pól otrzymanych w ten sposób przekrojów ostrosłupa.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![x 3 + (m − 1)x − m = 0](https://img.zadania.info/zes/0055491/HzesT62x.gif)
ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. Dla otrzymanych wartości wyznacz te pierwiastki.
Rozpatrujemy prostokąty , których dwa wierzchołki leżą na osi
, jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem
, jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji
określonej dla
. Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.