Zadanie nr 3945452

Wyznaczyć sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy .

Rozwiązanie

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez a,b a długość przeciwprostokątnej przez .

ZINFO-FIGURE

Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna. W szczególności promień okręgu opisanego jest równy R = c2 .

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole:

1ab = S = 1-(a+ b+ c)r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.

Zapiszmy teraz podaną informację o stosunku promieni

5 R c ac+ bc + c2 --= --= --a2b-- = ------------. 2 r a+b-+c 2ab

Ponieważ mamy obliczyć a sin α = c i b sin β = cosα = c podzielmy licznik i mianownik powyższego ułamka przez 2 c .

a b c +-c +-1- sin-α-+-cos-α+--1 5 = a ⋅ b = sinα ⋅co sα c c 5 sin α ⋅cosα = sin α + cos α + 1.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie trygonometryczne. Przekształcamy je tak, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

5 sin α ⋅cos α− 1 = sinα + co sα /()2 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ 2sinα cos α+ cos2α 2 2 25 sin α cos α = 12 sin α cosα / : 25 sin α cosα 12- sin α cosα = 25 .

Ponownie podniesiemy równanie do kwadratu, aby móc skorzystać jedynki trygonometrycznej.

sin α cosα = 12- /()2 25 2 2 144- sin α cos α = 625 14 4 sin 2α(1 − sin2 α) = ----. 62 5

Podstawmy teraz 2 t = sin α .

144 t2 − t+ ----= 0 625 ( ) 576 49 7 2 Δ = 1 − ----= ----= --- 625 625 2 5 1− 725 9 1 + 725- 16 t = --2----= 25- ∨ t = ---2---= 25-.

Zatem sinα = 3 5 lub sinα = 4 5 . Wtedy odpowiednio sin β = cos α = 4 5 i 3 sin β = cosα = 5 .

Sposób II

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu opisanego, więc

c -2 = 5- ⇒ c = 5r. r 2

Stąd

5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

c2 = a2 + b2 2 2 2 2 2 2 25r = a + (7r − a) = a + 49r − 14ar + a / : 2 0 = a2 − 7ar + 12r2.

Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 2 Δ = 4 9r − 4 8r = r 7r−--r 7r-+-r a = 2 = 3r lub a = 2 = 4r.

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

a- 3r- 3- a- 4r- 4- sin α = c = 5r = 5 lub sin α = c = 5r = 5 .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ c = 5r a + b = 7r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

a2 + b2 + 2ab = 49r2 c2 + 2ab = 49r2 2 2 2 25r + 2ab = 4 9r ⇒ ab = 12r .

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 7r ab = 12r2

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i , ale sinusy, czyli liczby i . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość c = 5r , a drugie przez c2 = 25r2 i mamy układ

{ a b 7 c + c = 5 ac ⋅ bc = 1225.

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

7 12 x2 − --x+ ---= 0 5 25 Δ = 49-− 48-= -1- 25 25 2 5 7− 1 3 7 + 1 4 x = 5---5-= -- ∨ x = 5---5-= -. 2 5 2 5

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .

Wiemy, że R = 5r = 2,5r 2 , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r + R + x = 3,5r+ x r + R − x = 3,5r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

(3,5r + x )2 + (3,5r − x)2 = (2R)2 = 2 5r2 2 2 2 2 2 12 ,25r + 7rx+ x + 12,25r − 7rx + x = 2 5r 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.

Zatem szukane sinusy to

3,5r-+-x-= 4r-= 4- 2R 5r 5 3,5r-−-x- 3r- 3- 2R = 5r = 5.

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

c 5- R- --2--- ----c---- 2 = r = a+b−c-= a + b− c. 2

Aby otrzymać sinusy kątów ostrych dzielimy licznik i mianownik ułamka z prawej strony przez .

5-= ----1-----= -------1--------- 2 ac + bc − 1 sin α + cos α− 1 2 7 sinα + cosα = 1+ --= -. 5 5

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

cos α = 7-− sin α /()2 5 2 4-9 14- 2 cos α = 2 5 − 5 sin α + sin α 49 14 1− sin 2α = ---− ---sinα + sin 2α 25 5 2-4 14- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + 2 sin α / : 2 1 2 7 0 = ---− --sin α + sin2α . 2 5 5

Podstawiamy teraz t = sin α i mamy równanie

7 1 2 t2 − --t+ --- = 0 5 2 5 Δ = 4-9− 48-= -1- 2 5 25 25 7− 1 3 7+ 1 4 t = 5---5-= -- ∨ t = -5---5 = -. 2 5 2 5

Zatem 3 sinα = 5 lub 4 sinα = 5 . Wtedy odpowiednio 4 sin β = cos α = 5 i sin β = cosα = 35 .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości 12 sinα cos α = 25 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

2sin αco sα = 24- 25 24- sin 2α = 25 ∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- cos 2α = ± 1− sin 2α = ± 1− 576-= ± -49-= ± -7-. 625 625 25

Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale 2 α już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że co s2α > 0 . Mając obliczony cos2α , możemy obliczyć sin α ze wzoru