Zadanie nr 5907034

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC , który ma większą miarę.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.

1ab = P = pr = a+--b+--c⋅r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.

Mamy zatem

1 r a+abb+c- ab --= - = ------= -----------2. 5 c c ac + bc + c

Podzielimy teraz licznik i mianownik przez 2 c , tak aby móc skorzystać z równości a sin α = c i b cos α = c .

a b 1-= ---c-⋅c--- = ---sin-αco-sα---- 5 ac + bc + 1 sin α+ cosα + 1 2 5 sin α cosα − 1 = sin α + co sα / () 25 sin2α cos2 α− 10sin αcos α + 1 = sin2 α+ cos2α + 2 sin α cosα 25 sin2α cos2 α = 12 sin α cosα / : sinα cos α 2 25 sinα cos α = 12 /() 62 5sin2α cos2 α = 144 2 2 62 5sin α (1− sin α) = 14 4.

Podstawiamy teraz sin2 α = t i mamy

2 62 5t − 62 5t+ 14 4 = 0.

Liczymy

Δ = 625 2 − 4 ⋅625 ⋅144 = 625(625 − 5 76) = 625 ⋅49 = (2 5⋅7)2 = 1752.

Stąd t = 0,36 lub t = 0,64 , czyli sinα = 0,6 lub sinα = 0,8 . Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc .

Sposób II

Wiemy, że

r= 1- ⇒ c = 5r. c 5

Stąd

5r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 7r − a.

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

c2 = a2 + b2 2 2 2 2 2 2 25r = a + (7r − a) = a + 49r − 14ar + a / : 2 0 = a2 − 7ar + 12r2.

Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 4 9r2 − 4 8r2 = r2 a = 7r−--r= 3r lub a = 7r-+-r = 4r. 2 2

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

a 3r 3 a 4r 4 sin α = c-= 5r-= 5- lub sin α = c-= 5r-= 5-.

Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc sinα = 4 5 .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ c = 5r a + b = 7r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 a + b + 2ab = 49r c2 + 2ab = 49r2 25r2 + 2ab = 4 9r2 ⇒ ab = 12r2.

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 7r ab = 12r2

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i , ale sinusy, czyli liczby a c i b c . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość c = 5r , a drugie przez c2 = 25r2 i mamy układ

{ ac + bc = 75 a ⋅ b = 12. c c 25

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

x2 − 7-x+ 12-= 0 5 25 49- 48- -1- Δ = 25 − 25 = 2 5 7 1 7 1 x = 5 −-5-= 3- ∨ x = 5-+-5-= 4. 2 5 2 5

Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc sinα = 45 .

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .

Wiemy, że c = 5r , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r + c-+ x = 3,5r+ x 2 c- r + 2 − x = 3,5r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

(3,5r + x )2 + (3,5r − x)2 = c2 = 25r2 2 2 2 2 2 12 ,25r + 7rx+ x + 12,25r − 7rx + x = 2 5r 2x 2 = 0,5r2 x = 0,5r.

Zatem sinus większego z kątów trójkąta jest równy

3,5r-+-x-= 4r-= 4. c 5r 5

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

a+ b− c r = --------- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

a+b−c- ( ) 1-= r = --2---= a-+-b-−-c = 1- a-+ b-− 1 . 5 c c 2c 2 c c

Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta .

1-= 1-(sin α + cos α − 1) / ⋅2 5 2 2 7 sin α+ cosα = 1+ --= -. 5 5

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

7 cos α = --− sin α /()2 5 cos2 α = 4-9− 14-sin α + sin2 α 2 5 5 2 49- 14- 2 1− sin α = 25 − 5 sinα + sin α 2 4 14 0 = ---− ---sin α + 2 sin 2α / : 2 2 5 5 1-2 7- 2 0 = 2 5 − 5 sin α + sin α .

Podstawiamy teraz t = sinα i mamy równanie

t2 − 7-t+ 1-2 = 0 5 2 5 4 9 48 1 Δ = ---− ---= --- 27 5 1 25 25 7 1 5 −-5- 3- -5 +-5 4- t = 2 = 5 ∨ t = 2 = 5.

Zatem sin α = 35 lub sin α = 45 . Interesuje nas większy z kątów ostrych, więc sin α = 4 5 .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości sinα cos α = 1225 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

24 24 2sin αco sα = --- ⇒ sin 2α = --- 25 ∘ ----25-- ∘ ---- ∘ -------2-- 576- -49- -7- cos 2α = ± 1− sin α = ± 1− 625 = ± 625 = ± 25 .

Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że cos 2α > 0 . Mając obliczony cos2α , możemy obliczyć sin α ze wzoru