Zadanie nr 6275433
W urnie jest dziesięć kul: 4 białe, 3 czarne, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród wylosowanych kul nie ma kul w tym samym kolorze. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Rozwiązanie
Za zdarzenia elementarne przyjmujemy trójelementowe zbiory wylosowanych kul, więc
![( ) |Ω | = 10 = 10-⋅9-⋅8 = 5⋅3 ⋅8 = 12 0. 3 3!](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR0x.gif)
Zdarzenia sprzyjające obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Jeżeli wśród wyciągniętych kul nie ma być dwóch kul w tym samym kolorze, to znaczy, że wybraliśmy kule w trzech różnych kolorach. Są cztery możliwości wyboru takich kul:
![{b,c,z} , {b ,c,n }, {b,z,n}, {c,z,n }](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR1x.gif)
Mamy w tych przypadkach kolejno
![4⋅ 3⋅2 = 24 4⋅ 3⋅1 = 12 4⋅ 2⋅1 = 8 3⋅ 2⋅1 = 6](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR2x.gif)
możliwości wybrania trzech kul. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe
![p = 24-+-12-+-8-+-6-= 50--= 5-. 120 120 12](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR3x.gif)
Sposób II
Tym razem obliczmy ile jest zdarzeń, w których są co najmniej 2 kule w tym samym kolorze.
Jeżeli wszystkie trzy kule są tego samego koloru, to albo wszystkie są białe, albo wszystkie są czarne. Jest
![( 4) + 1 = 4 + 1 = 5 3](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR4x.gif)
takich zdarzeń.
Jeżeli są dwie kule zielone, to trzecią kulę możemy wybrać na
![4 + 3 + 1 = 8](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR5x.gif)
sposobów (wybieramy dowolną z pozostałych).
Jeżeli są 2 czarne kule, to możemy je wybrać na
![( ) 3 2 = 3](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR6x.gif)
sposoby, a potem dobieramy do nich trzecią kulę na
![4 + 2 + 1 = 7](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR7x.gif)
sposobów. Jest więc takich zdarzeń.
Jeżeli wreszcie są 2 białe kule, to możemy je wybrać na
![(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR9x.gif)
sposobów. Do tych kul dobieramy trzecią kule na
![3 + 2 + 1 = 6](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR10x.gif)
sposobów. Jest więc takich zdarzeń i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe
![1 − 5+--8+--21+--36-= 1 − -70- = 1 − -7- = -5-. 120 1 20 1 2 1 2](https://img.zadania.info/zad/6275433/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: