Zadanie nr 5438267
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt
, a krawędź boczna
jest jego wysokością. Wykaż, że suma kwadratów pól ścian
i
jest równa sumie kwadratów pól ścian
i
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku – oznaczmy od razu i
.
Zauważmy, że krawędź jest prostopadła do
i do
, czyli jest prostopadła do ściany
. Zatem jest prostopadła do każdej prostej w tej ścianie, czyli trójkąt
jest prostokątny (jeżeli ktoś woli, to może skorzystać z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych). Podobnie zauważamy, że krawędź
jest prostopadła do ściany
, czyli trójkąt
też jest prostokątny. Teraz łatwo policzyć interesujące nas pola.
![P = 1aH ABS 2 1 1 ∘ -------- PBCS = -b ⋅BS = --b a2 + H 2 2 2 PADS = 1-bH 2 1- 1-∘ -2-----2 PDCS = 2 a⋅DS = 2a b + H .](https://img.zadania.info/zad/5438267/HzadR11x.gif)
Mamy zatem
![P2 + P2 = 1a2H 2 + 1b 2(a2 + H 2) = 1(a2H 2 + b2a2 + b2H 2) ABS BCS 4 4 4 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 PADS + PDCS = --b H + -a (b + H ) = --(b H + a b + a H ). 4 4 4](https://img.zadania.info/zad/5438267/HzadR12x.gif)
Widać zatem, że .