/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2021/Matura próbna/Zadania.info
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 24 kwietnia 2021 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Wielomian jest podzielny przez wielomian
. Zatem
A) . B)
. C)
. D)
.
Prosta ma dwa punkty wspólne z parabolą
wtedy i tylko wtedy, gdy
A) B)
C)
D)
Wyrażenie dla liczby naturalnej
jest równe
A) B)
C) 2 D)
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
W trójkącie bok
jest 3 razy krótszy od boku
, a długość boku
stanowi
długości boku
. Oblicz cosinus największego kąta trójkąta
.
Z punktu poprowadzono styczne do wykresu funkcji
. Wyznacz równia tych stycznych.
Dana jest liczba . Wyrazy ciągu
, określonego dla
, spełniają warunki
![{ 2 lim (a1 + a2 + ...+ an ) = kk−1- n→ + ∞ 1 + logk an+1 = logk an, dla n ≥ 1.](https://img.zadania.info/zes/0090187/HzesT34x.gif)
Udowodnij, że
![k6 lim (a21 + a23 + a25 + ...+ a22n+1) = ------. n→ + ∞ k4 − 1](https://img.zadania.info/zes/0090187/HzesT35x.gif)
Wiadomo, że . Udowodnij, że przekątna pięciokąta foremnego o boku długości 1 ma długość
.
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 4 (zobacz rysunek).
Oblicz odległość wierzchołka tego graniastosłupa od płaszczyzny
.
Rozwiąż równanie
![√ -- tgx + 1 + -1--+ -1---+ ...= --3-(1+ tg x) tg 2x, tg x tg 2x 2](https://img.zadania.info/zes/0090187/HzesT42x.gif)
w którym lewa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.
Oblicz, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie cztery cyfry 4 i dokładnie dwie cyfry 2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których pierwiastki wielomianu
tworzą ciąg arytmetyczny.
Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu jest zawarty w prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
W pudełku znajduje się sześciennych kostek do gry, przy czym
spośród tych kostek (
i
) ma na dwóch ściankach jedno oczko, a na pozostałych czterech ściankach sześć oczek. Wybieramy losowo jedną z tych kostek i wykonujemy nią cztery kolejne rzuty. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana kostka miała jedno oczko na dwóch ściankach, jeżeli wiadomo, że w każdym z czterech wykonanych rzutów otrzymano ściankę z sześcioma oczkami.
Z arkusza blachy w kształcie półkola o promieniu należy wyciąć trapez, którego jedna podstawa jest średnicą tego półkola, a wierzchołki drugiej podstawy leżą na jego brzegu (zobacz rysunek).
Oblicz jaką długość powinno mieć ramię tego trapezu, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to pole.