/Szkoła podstawowa/Egzamin ósmoklasisty/Egzamin 2022/Egzamin

Egzamin Ósmoklasisty
z Matematyki (termin dodatkowy) 14 czerwca 2022 Czas pracy: 100 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Wśród pewnej grupy osób przeprowadzono ankietę. Jedno z pytań brzmiało: Jaka jest twoja ulubiona pora roku?. Każdy ankietowany wskazał tylko jedną porę roku. Rozkład udzielonych odpowiedzi na to pytanie przedstawiono na diagramie.

ZINFO-FIGURE

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Zima jest ulubioną porą roku dla mniej niż 24% liczby osób ankietowanych.PF
Lato jest ulubioną porą roku dla 37 liczby osób ankietowanych. PF

Rozwiązanie

W sumie w ankiecie udzielono

4 + 7 + 5 + 12 = 2 8

odpowiedzi. W takim razie, zima jest ulubioną porą roku dla

7 1 ---= --= 25% 28 4

ankietowanych osób.

Lato jest ulubioną porą roku dla

1-2 = 3- 2 8 7

spośród ankietowanych osób.  
Odpowiedź: F, P

Zadanie 2
(1 pkt)

Córka obecnie jest 4 razy młodsza od swojej mamy. Razem mają 60 lat. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
 Mama obecnie ma A/B lat.
A) 48 B) 45
Córka za 8 lat będzie miała C/D .
C) 23 lata D) 20 lat

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli mama jest 4 razy starsza od córki, to jej wiek stanowi 4 5 sumy jej wieku i wieku córki. Mama ma zatem

4 --⋅60 = 4⋅ 12 = 48, 5

a córka 60− 48 = 12 lat. Córka za 8 lat będzie więc miała 20 lat.

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez x wiek córki, to mama ma 4x lat, oraz

6 0 = 4x + x = 5x ⇒ x = 12.

Mama ma zatem 60 − 12 = 48 lat. Córka za 8 lat będzie miała 20 lat.  
Odpowiedź: A, D

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczby: x , ( 5) − 6 , y , są uporządkowane rosnąco. Liczba y jest o 0,5 większa od ( ) − 56 , a liczba (− 5) 6 jest o 0,5 większa od liczby x . Jakie wartości mają liczby x i y ?
A) 4 x = − 3 i 1 y = − 3 B) 7 x = − 6 i 1 y = − 6
C) x = − 4 3 i y = − 1 2 D) x = − 7 6 i y = − 1 3

Rozwiązanie

Liczymy

( ) y = − 5- + 1-= − 5+ 3-= − 2-= − 1- 6 2 6 6 6 3 ( 5) 1 5 3 8 4 x = − -- − --= − -− --= − --= − --. 6 2 6 6 6 3

 
Odpowiedź: A

Zadanie 4
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania − 2(x − 1) − 3(2 − x) = 0 jest liczba
A) − 4 B) − 1,6 C) 0,8 D) 4 E) 8

Rozwiązanie

Rozwiązujemy podane równanie.

− 2 (x− 1)− 3(2− x) = 0 − 2x + 2− 6+ 3x = 0 x = 4.

 
Odpowiedź: D

Zadanie 5
(1 pkt)

O godzinie 14:50 Maciek wyruszył w podróż pociągiem z Gdańska do Grudziądza. Najpierw dojechał do Iławy, gdzie po 50–minutowym oczekiwaniu wsiadł do pociągu, którym dojechał do Grudziądza. Na rysunku pokazano, jak w czasie przebiegała podróż Maćka. Na osi czas przejazdu z Gdańska do Grudziądza podzielono na 20 jednakowych odstępów.

ZINFO-FIGURE

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Przejazd z Iławy do Grudziądza trwał jedną godzinę.PF
Maciek przyjechał do Grudziądza o godzinie 18:10. PF

Rozwiązanie

Na podanym diagramie widzimy, że czas oczekiwania w Iławie został podzielony na 5 jednakowych odstępów. W takim razie jeden odstęp na diagramie oznacza 10 minut.

W szczególności przejazd z z Iławy do Grudziądza trwał 60 minut, czyli 1 godzinę.

Cała podróż trwała 200 minut, czyli 3 godziny i 20 minut. To oznacza, że do Grudziądza Maciek dojechał o godzinie 18:10.  
Odpowiedź: P, P

Zadanie 6
(1 pkt)

Dane są trzy liczby:

√ ---- √ --- √ -- g = 120, h = 8 + 17, k = 9 + 3.

Które spośród tych liczb są mniejsze od liczby 11?
A) Tylko g . B) Tylko h i k . C) Tylko g i k . D) Tylko g i h .

Rozwiązanie

Liczymy

√ ---- √ ---- √ --2- g = 12√0-<- 121 = --11 = 11 h = 8 + 1 7 > 8+ √ 16 = 8 + 4 = 12 √ -- √ -- k = 9 + 3 < 9+ 4 = 9 + 2 = 11 .

 
Odpowiedź: C

Zadanie 7
(1 pkt)

Liczbę 404 można zapisać w postaci (21⋅ 19+ 5) .
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Resztą z dzielenia liczby 404 przez 19 jest 5. PF
Jeśli liczbę 404 zmniejszymy o 5, to otrzymamy liczbę podzielną przez 21.PF

Rozwiązanie

Wiemy, że

40 4 = 21 ⋅19 + 5,

więc rzeczywiście reszta z dzielenia 404 przez 19 jest równa 5.

Liczba o 5 mniejsza od 404 jest równa

404 − 5 = 21 ⋅19 + 5 − 5 = 2 1⋅1 9.

OCzywiście jest to liczba podzielna przez 21.  
Odpowiedź: P, P

Zadanie 8
(1 pkt)

Na tablicy zapisano wszystkie różne liczby dwucyfrowe, które jednocześnie spełniają trzy warunki: są mniejsze od 40, są podzielne przez 3, suma cyfr każdej z nich jest większa od 7. Ile liczb zapisano na tablicy?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

Rozwiązanie

Sposób I

Wypiszmy najpierw wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 i mniejsze od 40.

12 , 15, 18, 21, 27, 30 , 33, 36, 39.

Wśród tych liczb tylko

18, 27, 36, 39

mają sumę cyfr większą od 7.

Sposób II

Jeżeli liczba ma być podzielna przez 3, to suma jej cyfr musi być podzielna przez 3. Musi też być większa od 7, więc szukamy liczb o sumie cyfr równej: 9, 12, 15,…. Łatwo wypisać wszystkie liczby dwucyfrowe mniejsze od 40, które spełniają ten warunek:

18, 27, 3 6, 39 .

 
Odpowiedź: B

Zadanie 9
(1 pkt)

Biuro podróży w ramach oferty promocyjnej obniżyło cenę wycieczki o 20%. Pani Anna skorzystała z promocji i za wycieczkę zapłaciła 1500 zł. Jaka była cena wycieczki przed obniżką?
A) 1800 zł. B) 1875 zł. C) 2000 zł. D) 2175 zł.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez x cenę wycieczki przed obniżką. Mamy więc równanie

x ⋅80% = 150 0 x ⋅ 4-= 1 500 5 5 x = 15 00⋅ --= 5 ⋅375 = 1875 zł. 4

 
Odpowiedź: B

Zadanie 10
(1 pkt)

Liczba 35 ⋅ 96 jest równa
A) 30 27 B) 11 27 C) 317 D) 313

Rozwiązanie

Liczymy

5 6 5 ( 2) 6 5 12 5+12 17 3 ⋅9 = 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3 = 3 .

 
Odpowiedź: C

Zadanie 11
(1 pkt)

Dany jest wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

Pc = 2Pp + Pb ,

gdzie: Pc – pole powierzchni całkowitej, Pp – pole podstawy, Pb – pole powierzchni bocznej. Pole podstawy P p wyznaczone poprawnie z powyższego wzoru opisano równaniem
A) Pp = Pc−2Pb B) Pp = P2c− Pb C) P = P − Pb p c 2 D) P = P − P p c b

Rozwiązanie

Przekształcamy daną równość tak, aby wyznaczyć Pp .

2Pp + Pb = Pc 2Pp = Pc − Pb / : 2 Pc − Pb Pp = ---2---.

 
Odpowiedź: A

Zadanie 12
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono prostokąt i dwa trójkąty równoramienne T1 i T2 oraz podano długości ich boków.

ZINFO-FIGURE

Czy te trzy wielokąty mogą być ścianami jednego ostrosłupa? Wybierz odpowiedź T lub N i jej uzasadnienie spośród zdań A–C.

TakNie
ponieważ
A) długości boków prostokąta są równe długościom podstaw trójkątów T1 i T2 .
B) trójkąty T1 i T2 mają podstawy różnej długości.
C) ramiona trójkąta T1 mają inną długość niż ramiona trójkąta T 2 .

Rozwiązanie

Spróbujmy sobie wyobrazić jak by miał wyglądać ostrosłup zbudowany z figur takich jak w treści zadania. Prostokąt musi być podstawą ostrosłupa, a trójkąty jego ścianami bocznymi.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli jednak zaczniemy to szkicować, to zauważymy, że przeszkodą w zbudowaniu takiego ostrosłupa są różne długości ramion danych trójkątów równoramiennych.  
Odpowiedź: N, C

Zadanie 13
(1 pkt)

W pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 1 20∘ . Obwód tego rombu jest równy 24 cm. Dłuższa przekątna tego rombu ma długość
A) √ -- 3 3 cm B) 6 cm C) √ -- 6 3 cm D) 12 cm

Rozwiązanie

Szkicujemy romb.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli kąt rozwarty rombu ma miarę 12 0∘ , to jego kąt ostry ma miarę

180∘ − 120∘ = 6 0∘.

To oznacza, że romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych o boku 6cm. Jego dłuższa przekątna jest dwa razy dłuższa od wysokości trójkąta równobocznego. Ma więc długość

√ -- √ -- √ -- 2h = 2 ⋅ a--3 = a 3 = 6 3 cm . 2

 
Odpowiedź: C

Zadanie 14
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono prostokąt. Długość dłuższego boku oznaczono symbolem x oraz opisano za pomocą wyrażenia algebraicznego 27 − 2x . Długość krótszego boku oznaczono symbolem y oraz opisano za pomocą wyrażenia algebraicznego 2y − 3 .

ZINFO-FIGURE

Które równanie nie opisuje poprawnej zależności między wartościami x i y ?
A) x − y = 6 B) x + y = 12 C) x ⋅y = 27 D) y : x = 3

Rozwiązanie

Przeciwległe boki prostokąta mają taką samą długość, więc

y = 2y − 3 ⇒ 3 = y x = 27 − 2x ⇒ 3x = 2 7 ⇒ x = 9 .

W szczególności

x − y = 9− 3 = 6 x + y = 9+ 3 = 12 x⋅ y = 9⋅ 3 = 27 1 y : x = 3 : 9 = -. 3

 
Odpowiedź: D

Zadanie 15
(1 pkt)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
 Wartość wyrażenia 2− 2a2 dla a = −3 jest równa A/B .
A) − 16 B) 20
1 Wyrażenie 1 2 2(2 − 2a ) można przekształcić do postaci C/D .
C) 1 − 2a2 D) 1 − a2

Rozwiązanie

Liczymy

2 2 2 − 2a = 2− 2⋅(− 3) = 2− 2 ⋅9 = 2− 1 8 = − 16 1 1 1 -(2 − 2a 2) = --⋅2− --⋅2a2 = 1 − a2. 2 2 2

 
Odpowiedź: A, D

Zadanie 16
(2 pkt)

W kasie są banknoty 20–złotowe i 50–złotowe. Liczba banknotów 20–złotowych jest taka sama jak liczba banknotów 50–złotowych. Łączna wartość wszystkich banknotów 50–złotowych jest o 6 tysięcy złotych większa od łącznej wartości wszystkich banknotów 20–złotowych. Oblicz, ile banknotów 20–złotowych jest w kasie.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez x liczbę banknotów 20–złotowych. Wiemy więc, że banknotów 50–złotowych też jest x . Ponadto

5 0x = 20x + 6 000 3 0x = 600 0 / : 30 x = 200 .

 
Odpowiedź: 200

Zadanie 17
(2 pkt)

Janek miał łącznie 84 piłeczki, z których każda była w jednym z trzech kolorów: czerwonym, zielonym lub niebieskim. Liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są – odpowiednio – kolejnymi liczbami podzielnymi przez 7. Janek rozdzielił wszystkie piłeczki na siedem identycznych zestawów, przy czym w każdym z nich znalazły się piłeczki w trzech kolorach. Oblicz, ile piłeczek czerwonych, ile – zielonych, a ile – niebieskich było w jednym zestawie.

Rozwiązanie

Jeżeli piłeczek czerwonych było 7n , to piłeczek zielonych było 7n + 7 , a piłeczek niebieskich 7n + 1 4 . Ponadto

84 = 7n + 7n + 7 + 7n + 1 4 = 21n + 2 1 63 63 = 21n ⇒ n = ---= 3. 21

W każdym zestawie były n = 3 piłeczki czerwone, n + 1 = 4 piłeczki zielone i n + 2 = 5 piłeczek niebieskich.  
Odpowiedź: 3 czerwone, 4 zielone i 5 niebieskich

Zadanie 18
(3 pkt)

Prostokątna łąka jest podzielona na dwie części A i B , tak jak pokazano na rysunku. Każda z tych części ma kształt trapezu.

ZINFO-FIGURE

Kosiarka w ciągu każdej godziny swojej pracy kosi trawę z powierzchni o takim samym polu. Trawę z części A kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin. Oblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części B .

Rozwiązanie

Pola trapezów A i B są odpowiednio równe

10-+-40- 2 PA = 2 ⋅80 = 50 ⋅40 = 200 0 m 60 + 90 PB = --------⋅80 = 150 ⋅40 = 60 00 m 2. 2

W szczególności PB = 3PA , czyli skoszenie części B będzie trwało 3 razy dłużej niż skoszenie części A . Zajmie to więc 9 godzin.  
Odpowiedź: 9 godzin

Zadanie 19
(3 pkt)

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny. Długość jednej z przyprostokątnych jest równa 8 cm, a długość przeciwprostokątnej jest równa 10 cm. Najmniejsza ściana boczna tego graniastosłupa ma pole równe 54 cm 2 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Obliczamy najpierw długość drugiej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego w podstawie graniastosłupa.

∘ --------- √ --------- √ --- 102 − 82 = 100− 64 = 36 = 6 cm .

W takim razie w podstawie graniastosłupa mamy trójkąt prostokątny o bokach: 6 cm, 8 cm i 10 cm.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli oznaczymy przez H wysokość graniastosłupa, to wiemy ponadto, że

54- 54 = 6H ⇒ H = 6 = 9 cm

Suma wszystkich krawędzi graniastosłupa jest więc równa

2 ⋅(6 + 8 + 10) + 3 ⋅9 = 2 ⋅24 + 27 = 4 8+ 27 = 75 cm .

 
Odpowiedź: 75 cm

Arkusz Wersja PDF
Zadania