Zadanie nr 6836073
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach i
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od obrazka.
Sposób I
Symetralna to zbiór punktów , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie
![AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x + 2) + (y − 2) = (x − 2 ) + (y − 10 ) x 2 + 4x + 4 + y 2 − 4y + 4 = x2 − 4x + 4 + y2 − 20y + 10 0 16y = − 8x + 96 / : 16 1- y = − 2x + 6.](https://img.zadania.info/zad/6836073/HzadR2x.gif)
Sposób II
Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt
![p(x − x ) + q(y − y ) = 0 . 0 0](https://img.zadania.info/zad/6836073/HzadR5x.gif)
W naszej sytuacji mamy
![→ →v = AB = [2+ 2,10− 2] = [4,8]](https://img.zadania.info/zad/6836073/HzadR6x.gif)
oraz (środek odcinka
). Zatem szukana prosta ma równanie
![4(x − 0)+ 8(y − 6) = 0 / : 8 1- 2x + y − 6 = 0 1 y = − --x+ 6. 2](https://img.zadania.info/zad/6836073/HzadR9x.gif)
Sposób III
Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci
, na której leżą punkty o współrzędnych
i
. Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań
![{ 2 = − 2a+ b 1 0 = 2a + b](https://img.zadania.info/zad/6836073/HzadR14x.gif)
Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby zredukować ) mamy
, czyli
. Współczynnik
nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.
Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej
, więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy
(bo pomnożony przez 2 ma dawać -1). Zatem symetralna ta ma postać
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka
, czyli punktu
.
![6 = − 1-⋅0 + b ⇒ b = 6. 2](https://img.zadania.info/zad/6836073/HzadR26x.gif)
Zatem symetralna ma równanie .
Odpowiedź: