Zadanie nr 6836073

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (− 2;2) i B = (2;1 0) .

Rozwiązanie

Zaczynamy od obrazka.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie

AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x + 2) + (y − 2) = (x − 2 ) + (y − 10 ) x 2 + 4x + 4 + y 2 − 4y + 4 = x2 − 4x + 4 + y2 − 20y + 10 0 16y = − 8x + 96 / : 16 1- y = − 2x + 6.

Sposób II

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x ) + q(y − y ) = 0 . 0 0

W naszej sytuacji mamy

→ →v = AB = [2+ 2,10− 2] = [4,8]

oraz ( ) P = −-2+-2, 2+10 = (0,6) 2 2 (środek odcinka ). Zatem szukana prosta ma równanie

4(x − 0)+ 8(y − 6) = 0 / : 8 1- 2x + y − 6 = 0 1 y = − --x+ 6. 2

Sposób III

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (− 2,2) i (2 ,1 0) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ 2 = − 2a+ b 1 0 = 2a + b

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby zredukować ) mamy 8 = 4a , czyli a = 2 . Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy − 12 (bo pomnożony przez 2 ma dawać -1). Zatem symetralna ta ma postać y = − 1x + b 2 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka , czyli punktu ( ) P = −22+2, 2+210- = (0 ,6 ) .