/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 25 marca 2023 Czas pracy: 180 minut
Oblicz
Prostą o równaniu przesunięto o wektor postaci w taki sposób, że przesunięta prosta jest styczna do wykresu funkcji . Oblicz wartość .
Oblicz granicę
Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe 0,05. Oblicz, ile torebek herbaty należy poddać kontroli, aby prawdopodobieństwo otrzymania w kontrolowanej partii przynajmniej jednej torebki z niedowagą było większe niż 0,7.
Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie spełniają warunki: i , to
Rozwiąż równanie w przedziale .
W romb o boku wpisano dwa okręgi w ten sposób, że okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich boków rombu przecinających się pod kątem ostrym (zobacz rysunek).
Udowodnij, że suma promieni tych okręgów jest równa .
Informacja do zadań 8.1 i 8.2
Na przedziale określono dwie funkcje: i . Rozpatrujemy wszystkie trapezy , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji , a wierzchołki i leżą na wykresie funkcji . Podstawy rozpatrywanych trapezów są równoległe do osi (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli pierwsza współrzędna punktów i jest równa 7, a druga współrzędna punktu jest równa , to pole trapezu jest równe
Oblicz współrzędne wierzchołków tego z rozpatrywanych trapezów, w którym , i który ma największe możliwe pole. Oblicz to największe pole. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że jeżeli pierwsza współrzędna wierzchołka trapezu jest równa 7, a druga współrzędna wierzchołka jest równa , to pole trapezu wyraża się wzorem
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że . Przez środek krawędzi i środek krawędzi poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Dane jest równanie
z niewiadomą i parametrem . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.
Dane są 4 liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a 3 ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej wynosi 22, a suma drugiej i trzeciej wynosi 4. Wyznacz te 4 liczby.
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest romb , którego bok i przekątna są zawarte w prostych o równaniach i odpowiednio. Promień okręgu wpisanego w romb jest równy , a środek tego okręgu leży poniżej osi . Oblicz współrzędne punktu styczności okręgu wpisanego w romb z jego bokiem .