/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 4 marca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 921 + 921 + 921 jest równa
A) 43 3 B) 63 3 C) 42 3 D) 22 9

Zadanie 2
(1 pkt)

Cenę x pewnego towaru dwukrotnie obniżono o 20% i otrzymano cenę y . Aby przywrócić cenę x , nową cenę y należy podnieść o
A) 40% B) 64% C) 75% D) 56,25%

Zadanie 3
(1 pkt)

Właściciel sklepu kupił w hurtowni 12 identycznych wiertarek po x zł za sztukę i 15 identycznych szlifierek kątowych po y zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 9120 zł. Po doliczeniu marży w wysokości 40 zł do każdej wiertarki i 25% na każdą szlifierkę kątową ceny detaliczne wiertarki i szlifierki były jednakowe. Cenę wiertarki x i szlifierki y , jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań
A) { x + y = 9120 x + 4 0 = 1,25y B) { 12x + 15y = 91 20 x + 40 = 1,25y
C) { 1 2x+ 15y = 9 120 1 ,25x = y + 40 D) { x+ y = 9120 1,25x = y + 40

Zadanie 4
(1 pkt)

Ciąg (x,y,z) jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy 27. Stąd wynika, że y jest równe
A) 81 B) √33- C) 9 D) 3

Zadanie 5
(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Liczba √ --- 14 + log 4 18 jest równa
A) 1 + log 6 2 4 B) 1 + log 3 2 4 C) log 43

D) log 46 E) 1 2 − lo g43 F) 1log 12 2 4

Zadanie 6
(1 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = 2x3 + kx2 − 12x − 7k+ 12 gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba (−3 ) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Liczba k jest równa
A) 2 B) 3 C) 6 D) − 2

Zadanie 7
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 wyrażenie x5−1-− 2 jest równe
A) −-2x+1 x− 1 B) −-2x+7 x− 1 C) −-2x+3 x−1 D) −2x−-3 x−1

Informacja do zadań 8.1 – 8.3

Czas T półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa m leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

( 1 ) tT m (t) = m 0 ⋅ -- , 2

gdzie:
m 0 – masa przyjętej dawki leku
T – czas półtrwania leku
t – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.
W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.
Pan Karol otrzymuje codziennie o godz. 12:00 dawkę 1 00 mg leku L. Pan Tomasz otrzymuje co 2 dni o godz. 12:00 dawkę 10 0 mg tego samego leku L. Pierwszą dawkę leku obaj panowie przyjęli tego samego dnia. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy T = 1/ 2 doby.

Zadanie 8.1
(1 pkt)

Wykres zależności masy M leku L w organizmie pana Karola od czasu t , liczonego od momentu przyjęcia przez niego pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku

PIC

Zadanie 8.2
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Masa leku L w organizmie pana Tomasza tuż przed przyjęciem drugiej dawki jest dwa razy mniejsza niż masa tego leku dokładnie w tym samym czasie w organizmie pana Karola. PF
Masa leku L w organizmie pana Karola po 12 godzinach od przyjęcia pierwszej dawki zmniejszyła się o 50%. PF

Zadanie 8.3
(3 pkt)

Oblicz masę leku L w organizmie pana Tomasza tuż przed przyjęciem szóstej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,01 mg.

Zadanie 9
(1 pkt)

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny P swojego produktu na liczbę Q kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o 6 jednostek powoduje spadek liczby kupujących o 9 jednostek. Ponadto przy cenie równej 9 jednostek liczba kupujących jest równa 24 jednostki. Liczba kupujących ten produkt przy cenie równej 19 jednostek jest równa
A) 10 jednostek B) 13 jednostek
C) 11 jednostek D) 9 jednostek

Zadanie 10
(1 pkt)

Równanie (4−x)(2x−-3)-= 0 (3x− 5)(2−3x) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie B) dwa rozwiązania
C) trzy rozwiązania D) cztery rozwiązania

Zadanie 11
(1 pkt)

Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest arytmetyczny i suma jego wyrazów jest równa 27. Suma b + c równa
A) 27 B) 13,5 C) 17 D) 9

Informacja do zadań 12.1 i 12.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej 2 f(x) = ax + bx+ c . Przedstawiono również prostą y = − 3 , z którą wykres funkcji y = f(x ) ma dokładnie jeden punkt wspólny, oraz jeden z punktów tego wykresu – A = (− 2,4 )

PIC
Zadanie 12.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności f (x) ≥ 4 .

Zadanie 12.2
(2 pkt)

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.

Zadanie 13
(3 pkt)

W prostopadłościanie ABCDEF GH przekątna ściany BCGF jest o 2 dłuższa od krawędzi CG i o 4 dłuższa od krawędzi BC . Przekątna ściany ABF E jest nachylona do płaszczyzny ABCD pod kątem 60∘ . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

PIC

Zadanie 14
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , dany jest okrąg o środku S = (− 2,5) i promieniu r = 3 . Równanie tego okręgu ma postać
A) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 9 B) 2 2 (x + 2) + (y − 5) = 3
C) 2 2 (x − 2) + (y + 5) = 3 D) (x + 2)2 + (y − 5)2 = 9

Zadanie 15
(1 pkt)

Oś Oy kartezjańskiego układu współrzędnych jest osią symetrii czworokąta ABCD . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Środek jednej z przekątnych czworokąta ABCD musi leżeć na osi Oy .PF
Czworokąt ABCD musi być trapezem. PF

Zadanie 16
(1 pkt)

W trójkącie ABC bok AB ma długość 8, a bok BC ma długość 10. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w punkcie D takim, że |CD | = 9 (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość odcinka AD .

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty A ,B ,C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Ponadto ∘ |∡AOC | = 1 30 oraz |∡BOA | = 120∘ .

PIC

Miara kąta wewnętrznego BAC trójkąta ABC jest równa
A) 60∘ B) 5 5∘ C) 50∘ D) 65∘

Zadanie 18
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba (5n − 3 )(2 − 5n ) przy dzieleniu przez 25 daje resztę 19.

Zadanie 19
(1 pkt)

Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych podzielnych przez 20, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra 7?
A) 3645 B) 2592 C) 3240 D) 2560

Informacja do zadań 20.1 i 20.2

Bok BC kwadratu ABCD zawiera się w prostej o równaniu 2y = x− 1 .

Zadanie 20.1
(1 pkt)

Bok AD kwadratu ABCD może zawierać się w prostej o równaniu
A) y = − 2x+ 2 B) 1 y = − 2x + 2 C) y = 12 x− 1 D) 2y = −x + 1

Zadanie 20.2
(1 pkt)

Bok DC kwadratu ABCD może zawierać się w prostej o równaniu
A) 2y = −x − 1 B) 1 y = 2 x− 2 C) y = − 12x+ 1 D) y = − 2x + 1

Zadanie 21
(1 pkt)

Jeżeli 90∘ < α < 180∘ oraz 3 tgα = − 5sinα , to
A) 4 sin α = 5 B) 3 sinα = − 5 C) 3 sin α = 5 D) 4 sin α = − 5

Zadanie 22
(1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia równanie |x − 2023 |+ |2024 − x| = 4 .
A) x = 2022 B) x = 2021,5 C) x = − 20 23 D) x = 2023

Zadanie 23
(1 pkt)

Cięciwy AB i CD okręgu o środku O przecinają się w punkcie P i tworzą trójkąty AP C i BP D .

PIC


Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Trójkąty AP C i BP D są

A) podobne,B) przystające,

ponieważ trójkąty te mają równe

1) pola,2) miary kątów,3) długości boków,

Zadanie 24
(1 pkt)

Dany jest trapez ABCD , w którym AB ∥ CD oraz przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O . Wysokość tego trapezu jest równa 15. Obwód trójkąta ABO jest równy 42, a obwód trójkąta CDO jest równy 14.

PIC

Wysokość trójkąta CDO poprowadzona z punktu O jest równa
A) 3,75 B) 5 C) 6 D) 7,5

Informacja do zadań 25.1 i 25.2

W grupie 320 respondentów przeprowadzono ankietę, w której zapytano o liczbę wysłanych przez nich wiadomości e-mail pomiędzy 1 a 6 marca. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba e-maili102030405060
Liczba osób 539328754427
Zadanie 25.1
(1 pkt)

Średnia liczba wiadomości e-mail wysłanych dziennie przez jedną osobę uczestniczącą w badaniu, jest z dokładnością do jednej wiadomości równa
A) 5 B) 10 C) 4 D) 6

Zadanie 25.2
(1 pkt)

Mediana danych przedstawionych w tabeli jest równa
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35

Zadanie 26
(1 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC . Punkty D , E i F są punktami – odpowiednio – krawędzi bocznych AS , BS i CS takimi, że |AD | = 1|AS | 3 , |BE | = 1|BS | 3 i |CF | = 1|CS | 3 (zobacz rysunek).

PIC

Stosunek objętości ostrosłupa DEF S do objętości ostrosłupa ABCS jest równy
A) 8 : 27 B) 2 : 3 C) 8 : 9 D) 4 : 9

Zadanie 27
(2 pkt)

Boki równoległoboku mają długości 6 i 14, a jego krótsza przekątna ma długość 11. Oblicz cosinus kąta rozwartego tego równoległoboku.

Zadanie 28
(4 pkt)

Sprzedawca kupuje miesięcznie w hurtowni monitory, płacąc 1920 zł za sztukę. W chwili obecnej sprzedaje 20 monitorów miesięcznie w cenie 2240 zł za sztukę, oraz oszacował, że każda kolejna obniżka ceny o 16 zł zwiększa o 2 liczbę sprzedanych monitorów. Jaką powinien ustalić cenę monitora, aby jego zysk był największy? Ile jest równy ten maksymalny miesięczny zysk?

Zadanie 29
(1 pkt)

Dane są czworościany foremne: czworościan F o krawędzi długości a > 1 , czworościan G o krawędzi długości 5 10 a i czworościan H o krawędzi długości −4 1 0 a . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Objętość czworościanu H jest 1027 razy mniejsza od objętości czworościanu G . PF
Iloczyn długości krawędzi czworościanów G i H jest 10 razy większa od długości krawędzi czworościanu F . PF

Zadanie 30
(1 pkt)

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w zapisie dziesiętnym wylosowanej liczby jest dokładnie jedna cyfra 3?
A) 17 91 B) 1 5 C) 19 90 D) 1970

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania