Zadanie nr 9230161

W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Rozwiązanie

Wszystkich trzyelementowych ciągów (a,b,c) o wyrazach ze zbioru {1 ,2,3,4,5,6,7,8} jest

|Ω | = 8 ⋅8⋅ 8 = 83.

Sposób I

Jeżeli się chwile zastanowimy, to powinno stać się jasne, że jest dość dużo zdarzeń sprzyjających, więc zamiast zajmować się zdarzeniem opisanym w treści zadania, zajmijmy się zdarzeniem przeciwnym, gdy iloczyn otrzymanych trzech liczb nie dzieli się przez 4.

Są dwa rodzaje takich zdarzeń: albo wylosowaliśmy same liczby nieparzyste, albo wylosowaliśmy dokładnie jedną dwójkę lub dokładnie jedną szóstkę. Zdarzeń pierwszego rodzaju jest

4 ⋅4 ⋅4,

a zdarzeń drugiego rodzaju jest

2 ⋅3 ⋅4⋅ 4

(na 2⋅3 sposoby wybieramy dwójkę lub szóstkę oraz miejsce tej liczby, a potem na 4 ⋅4 sposoby umieszczamy na pozostałych miejscach dwie liczby nieparzyste).

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

43 +-6⋅4-2 -4+--6- -5- 11- 1− 83 = 1 − 2 ⋅2⋅ 8 = 1 − 16 = 16 .

Sposób II

Tym razem liczymy wprost.

Są 4 liczby spełniające warunki zadania, w których wszystkie otrzymane wyniki są takie same:

2 22,444,666 ,888.

Liczb z dokładnie dwoma równymi cyframi parzystymi (tzn. takich jak 122, 424 itp.) jest

4⋅3 ⋅7

(na 4 sposoby wybieramy powtarzającą się cyfrę parzystą, na 3 sposoby miejsce dla trzeciej cyfry i na 7 sposobów tę trzecią cyfrę).

Liczb z dokładnie dwoma cyframi nieparzystymi (tzn. np. 411, 585 itp.) jest

4⋅3 ⋅2

(na 4 sposoby wybieramy powtarzającą się cyfrę nieparzystą, na 3 sposoby miejsce dla trzeciej cyfry i na 2 sposoby tę trzecią cyfrę – musi to być 4 lub 8).

Pozostało zająć się liczbami o trzech różnych cyfrach. Jest

3⋅6 ⋅2

liczb, których dwoma cyframi są 4 i 8 (na 3 sposoby wybieramy miejsce dla trzeciej cyfry, na 6 sposobów wybieramy tę cyfrę oraz na 2 sposoby możemy umieścić 4 i 8).

Jeżeli dokładnie jedną z tych cyfr jest 4 lub 8, to jest