Zadanie nr 4792865
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej
prawdziwa jest nierówność
![x2 + 49y2 > 2(x + 7y − 1).](https://img.zadania.info/zad/4792865/HzadT2x.png)
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny,
![2 2 x + 4 9y > 2(x + 7y − 1 ) (x 2 − 2x + 1)+ (49y2 − 14y + 1) > 0 (x − 1 )2 + (7y − 1 )2 > 0.](https://img.zadania.info/zad/4792865/HzadR0x.png)
Oczywiście nierówność ta jest spełniona (bo ), a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.
Sposób II
Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić
![4 9y2 − 14y + (x2 − 2x + 2) > 0](https://img.zadania.info/zad/4792865/HzadR2x.png)
jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą i parametrem
. Liczymy
–ę.
![Δ = 196 − 4 ⋅49(x2 − 2x + 2) = 196(1 − x2 + 2x − 2) = = − 196(x2 − 2x + 1 ) = − 196(x − 1)2.](https://img.zadania.info/zad/4792865/HzadR6x.png)
Ponieważ jest ujemna (bo
), powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony jest powyżej osi
).