Zadanie nr 2074631
W czworokącie dane są długości boków:
. Ponadto kąty
oraz
są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Z trójkąta prostokątnego liczymy długość przekątnej
.
![∘ --------- √ ---- BD = 72 + 242 = 6 25 = 25.](https://img.zadania.info/zad/2074631/HzadR3x.png)
Teraz z trójkąta prostokątnego liczymy długość boku
.
![∘ ---------- √ ---- BC = 25 2 − 15 2 = 400 = 2 0.](https://img.zadania.info/zad/2074631/HzadR6x.png)
Teraz bez trudu liczymy pole czworokąta.
![1 1 PABCD = PABD + PBCD = -⋅ 24⋅7 + -⋅ 20⋅1 5 = 84 + 150 = 234. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2074631/HzadR7x.png)
Pozostało obliczyć długość drugiej przekątnej – zrobimy to na dwa sposoby.
Sposób I
Długość przekątnej obliczymy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie
. Zanim to jednak zrobimy obliczymy
. Korzystamy ze wzoru na cosinus sumy.
![cos ∡ADC = cos(α + β ) = cosα cos β− sin α sin β = = DC--⋅ DA--− CB--⋅ AB-= DB DB DB DB 15- 7-- 20- 2-4 -−-375- −-15- 3- = 25 ⋅ 25 − 25 ⋅2 5 = 25 ⋅25 = 25 = − 5.](https://img.zadania.info/zad/2074631/HzadR11x.png)
Liczymy teraz długość przekątnej .
![AC 2 = DA 2 + DC 2 − 2DA ⋅DC cos ∡ADC ( 3 ) AC 2 = 49 + 225 − 2 ⋅7 ⋅15⋅ − -- 5 AC 2 = 400 ⇒ AC = 20.](https://img.zadania.info/zad/2074631/HzadR13x.png)
Sposób II
Ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg (średnicą tego okręgu jest odcinek
), możemy skorzystać z twierdzenia Ptolemeusza.
![AC ⋅BD = AB ⋅CD + BC ⋅AD 25AC = 24 ⋅15 + 20 ⋅7 500 AC = ----= 20. 25](https://img.zadania.info/zad/2074631/HzadR16x.png)
Odpowiedź: