/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 2074631

W czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB | = 24,|CD | = 1 5,|AD | = 7 . Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z trójkąta prostokątnego ABD liczymy długość przekątnej BD .

∘ --------- √ ---- BD = 72 + 242 = 6 25 = 25.

Teraz z trójkąta prostokątnego BCD liczymy długość boku BC .

∘ ---------- √ ---- BC = 25 2 − 15 2 = 400 = 2 0.

Teraz bez trudu liczymy pole czworokąta.

PABCD = PABD + PBCD = 1⋅ 24⋅7 + 1⋅ 20⋅1 5 = 84 + 150 = 234. 2 2

Pozostało obliczyć długość drugiej przekątnej – zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Długość przekątnej AC obliczymy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ACD . Zanim to jednak zrobimy obliczymy cos∡ADC = cos(α+ β) . Korzystamy ze wzoru na cosinus sumy.

cos ∡ADC = cos(α + β ) = cosα cos β− sin α sin β = DC-- DA-- CB-- AB-- = DB ⋅ DB − DB ⋅DB = 15 7 20 2 4 − 375 − 15 3 = ---⋅ --− ---⋅--- = -------= -----= − -. 25 25 25 2 5 25 ⋅25 25 5

Liczymy teraz długość przekątnej AC .

AC 2 = DA 2 + DC 2 − 2DA ⋅DC cos ∡ADC ( ) AC 2 = 49 + 225 − 2 ⋅7 ⋅15⋅ − 3- 5 2 AC = 400 ⇒ AC = 20.

Sposób II

Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg (średnicą tego okręgu jest odcinek BD ), możemy skorzystać z twierdzenia Ptolemeusza.

AC ⋅BD = AB ⋅CD + BC ⋅AD 25AC = 24 ⋅15 + 20 ⋅7 500 AC = ----= 20. 25

 
Odpowiedź: PABCD = 234, BD = 25 , AC = 20

Wersja PDF