Zadanie nr 7873550
Oblicz pole czworokąta wypukłego , w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary:
,
,
,
, a boki
i
mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.
Rozwiązanie
Zróbmy najpierw rysunek pomocniczy.
Trójkąt jest równoramienny i prostokątny, zatem jego kąty przy wierzchołkach
i
są równe 45
. W połączeniu z podanymi w treści zadania miarami kątów, daje to nam:
oraz
. Pole trójkąta
jest równe:
![1 9 PABD = --⋅3 ⋅3 = --. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7873550/HzadR8x.gif)
Pozostaje zatem obliczyć pole drugiego trójkąta - . Aby to zrobić musimy obliczyć długości jego przyprostokątnych. Jedna z nich to przeciwprostokątna trójkąta
– obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa, drugą obliczymy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie
.
Liczymy :
![∘ ------------ √ ------ √ -- BD = AB 2 + AD 2 = 9+ 9 = 3 2](https://img.zadania.info/zad/7873550/HzadR13x.gif)
Aby obliczyć , zauważmy, że
. Mamy stąd:
![√ -- √ -- 3 √ -- CD = BD ⋅ctg ∡C = BD ⋅ctg6 0∘ = 3 2 ⋅----= 6. 3](https://img.zadania.info/zad/7873550/HzadR16x.gif)
Bez trudu obliczamy teraz pole czworokąta :
![9 1 √ -- √ -- 9 √ -- PABCD = PABD + PCBD = --+ --⋅3 2 ⋅ 6 = --+ 3 3 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7873550/HzadR18x.gif)
Odpowiedź: