/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024
Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 4 czerwca 2024 Czas pracy: 180 minut
W chwili początkowej () zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek
. W wyniku tej reakcji masa
związku
zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
![− 0,05⋅t m (t) = a⋅2 + b dla t ≥ 0](https://img.zadania.info/zes/0046603/HzesT4x.png)
gdzie:
-
– masa związku
wyrażona w gramach,
-
– czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili
),
-
– współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku (tj. masa w chwili
) była równa
gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy
) masa tego związku była równa
jego masy początkowej (zobacz rysunek).
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zes/0046603/HzesT15x.png)
Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5% masy początkowej tego związku.
Oblicz granicę
![|x− 3| lim -------. x→ 3− x2 − 9](https://img.zadania.info/zes/0046603/HzesT16x.png)
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. W kartezjańskim układzie współrzędnych
punkt
należy do wykresu funkcji
. Oblicz
oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.
Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej i każdej liczby dodatniej
takich, że
, prawdziwa jest nierówność
![1 1 4 ------+ -------≥ -. 2a+ b a+ 2b 3](https://img.zadania.info/zes/0046603/HzesT29x.png)
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe oraz
, przy czym
. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od
.
Nieskończony ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej
. Suma wszystkich wyrazów ciągu
o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.
![a1 + a3 + a5 + ...= 16.](https://img.zadania.info/zes/0046603/HzesT37x.png)
Ponadto . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu
.
W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt . Długość boku
jest równa 6. Bok
ma długość
i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku
trójkąta
.
Rozwiąż równanie .
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka
. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu
przecina parabolę o równaniu
w punktach
oraz
, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku
. Wierzchołek
ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek
leży na prostej o równaniu
i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu
od prostej zawierającej bok
równoległoboku jest równa
. Oblicz długość boku
tego równoległoboku.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 2 (3− m) ⋅x + (m + 1)⋅x − (m + 1) = 0](https://img.zadania.info/zes/0046603/HzesT63x.png)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
![x21 + x22 = x1 ⋅x2 + 7.](https://img.zadania.info/zes/0046603/HzesT65x.png)
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości ostrosłupa oraz promienia
okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
-
Wykaż, że objętość
każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości
promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
-
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.