/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 27 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział (− 2,3) .
A) x(x + 2 ) < 3 B) x(x − 3) < 6 C) x(x + 3 ) < 1 D) x(x− 1) < 6

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ∘ --- 3 64-⋅√3−-3- 81 jest równa
A) ( 3) − 4 B) 3 4 C) 4 3 D) ( ) − 4 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba log 2− 1log 8 64 2 64 jest równa
A) ( ) − 112 B) ( ) − 12 C) -1 12 D) 1 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Wskaż nierówność, która opisuje sumę przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej.

ZINFO-FIGURE

A) |x+ 418| > 99 B) |x + 99 | > 4 18 C) |x− 418| > 99 D) |x− 99| > 418

Informacja do zadań 5.1 i 5.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE
Zadanie 5.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności f (x) ≤ 1 .

Zadanie 5.2
(1 pkt)

Funkcja f jest malejąca w zbiorze
A) [5,6] B) [−1 ,7] C) [4,7] D) [− 3,4]

Zadanie 6
(1 pkt)

Wyrażenie (a + b + c+ d)2 − (a− b+ c− d )2 może być zapisane w postaci
A) 4(a + d)(b + c) B) 2 2 2 2 2a + 2c − 2b − 2d
C) 2a2 + 2d2 − 2b2 − 2c2 D) 4(a+ c)(b+ d )

Zadanie 7
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia liczby 63k2 − 14k − 3 przez 7 jest równa 4.

Zadanie 8
(1 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = − 3x3 − x2 + kx + 1 , gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W (x) = (x − 1) ⋅Q (x) dla pewnego wielomianu Q . Liczba k jest równa
A) 29 B) (− 3) C) 0 D) 3

Zadanie 9
(1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej y = f (x) jest parabola o wierzchołku w punkcie P = (− 2,− 1) . Prosta y = 7 przecina tę parabolę w punktach A = (2,7) i B . Długość odcinka AB jest równa
A) 18 B) 6 C) 10 D) 8

Zadanie 10
(1 pkt)

Dwa boki trójkąta ABC są zawarte w prostych k i l o równaniach

k : y = 0,25− 0,75x 4 1 l : y = -x + -- 3 3


Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Trójkąt ABC

A) jest prostokątnyB) nie jest prostokątny

i jeden z jego wierzchołków może mieć współrzędne

1. (1 ,−2 ) 2. (2,3 ) 3. (− 5,1)

Zadanie 11
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

ZINFO-FIGURE

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A) { y = x+ 1 y = − 12x + 12 B) { 1 3 y = 2x + 2 y = −x + 3 C) { y = x+ 1 y = − 12x + 32 D) { y = −x + 3 y = 1x − 3 2 2

Zadanie 12
(1 pkt)

Równanie (x3−5x2)(x2+-5) = 0 x2− 25 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie.
B) dwa rozwiązania.
C) trzy rozwiązania.
D) cztery rozwiązania.

Zadanie 13
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (− 7) i 7 wartość wyrażenia

(49 − x2)2 3x + 21 --2------------2-: --------2- (x − 14x + 49) 14x − 2x

jest równa wartości wyrażenia
A) 1241x+−3x2x2 B) 2 142x1+−23xx- C) -21x+3- 14x2−2x D) 7x2+3x 2x+ 14

Zadanie 14
(2 pkt)

Ciąg (5,−y − 5,y + 5,x + 5) jest arytmetyczny. Oblicz x .

Zadanie 15
(1 pkt)

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze ∘ 22 C opisuje funkcja wykładnicza − 0,03x T (x) = 76 ⋅2 + 2 2 , gdzie T (x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza po x minutach liczonych od momentu x = 0 , w którym zioła zalano wrzątkiem. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Temperatura naparu po 35 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest większa od 60∘C . PF
Temperatura naparu po 2 godzinach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest mniejsza od 22∘C . PF

Zadanie 16
(2 pkt)

Funkcje A , B, C, D , E oraz F są określone dla każdej liczby rzeczywistej x . Wzory tych funkcji podano poniżej. Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Przedział [− 2,+ ∞ ) jest zbiorem wartości funkcji
A) A (x) = 2x 2 + 4x B) B (x) = −x 2 + 2 C) C (x ) = (x − 3)2 − 2

D) 2 D (x) = − (x − 2) E) 2 E (x) = − 2x − 8x + 10 F) 2 F (x) = 5(x − 2 )

Zadanie 17
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O = (0,0) . Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox , a drugie przechodzi przez punkt P = (− 4,1) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Tangens kąta α jest równy
A) ( ) − 1 4 B) ( ) − √-4- 17 C) ( ) − 4 1 D) √1-- 17

Informacja do zadań 18.1 i 18.2

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) zaznaczono różne kąty. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox , a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B , lub C , lub D , lub E , lub F .

ZINFO-FIGURE
Zadanie 18.1
(1 pkt)

Na którym rysunku zaznaczono kąt α ∈ (0∘,180∘) , spełniający warunek tg α = − 3 2 ?

Zadanie 18.2
(1 pkt)

Na którym rysunku zaznaczono kąt β ∈ (0∘,180∘) , spełniający warunek cosβ = √3-- 10 ?

Zadanie 19
(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym przynajmniej jedna cyfra występuje dwa razy jest
A) 252 B) 180 C) 171 D) 396

Zadanie 20
(4 pkt)

Arkusz blachy ma kształt trójkąta prostokątnego ABC , w którym |AB | = 4 m i |BC | = 2 m . Z tego arkusza należy wyciąć trójkąt równoramienny DBE w ten sposób, że punkty E i D leżą odpowiednio na odcinkach AC i AB oraz |DE | = |BE | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz jaką długość powinna mieć podstawa DB trójkąta DBE tak, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to największe pole.

Zadanie 21
(1 pkt)

Wszystkie wierzchołki kwadratu ABCD mają współrzędne nieujemne, przy czym C = (0,7) i D = (0,3 ) . Okrąg wpisany w kwadrat ABCD jest określony równaniem
A) 2 2 (x − 2) + (y − 5) = 4 B) (x − 3)2 + (y − 7)2 = 2
C) (x + 3)2 + (y + 7)2 = 4 D) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 2

Zadanie 22
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem n−(−1)n- an = 3 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 12 jest równa
A) 36 B) 34 C) 33 D) 35

Zadanie 23
(3 pkt)

Rozwiąż równanie x 3 + 12x 2 − 121x − 1452 = 0 .

Zadanie 24
(1 pkt)

Pole równoległoboku ABCD jest równe √ -- 40 6 . Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 12 0∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość boku AB jest równa
A) √ -- 8 3 B) √ -- 8 2 C) 16 √ 2- D) 16√ 3-

Zadanie 25
(1 pkt)

Ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a1 = − 2,55 oraz a = 1 0,2 2 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a ) n jest równa
A) 48,45 B) (− 36,6) C) 7,65 D) (− 33,15)

Zadanie 26
(1 pkt)

W okręgu O kąt środkowy β oraz kąt wpisany α są oparte na tym samym łuku. Kąt β ma miarę o 50∘ większą od kąta α . Miara kąta β jest równa
A) ∘ 40 B) ∘ 80 C) 10 0∘ D) 12 0∘

Zadanie 27
(1 pkt)

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe
A) 332 B) 32176- C) 116 D) -7 36

Zadanie 28
(1 pkt)

Wykresy funkcji f (x) = 2x2 − 4 i g(x ) = x−k- x2+1 określonych dla każdej liczby rzeczywistej x przecinają się w dwóch punktach – jednym z nich jest punkt (1 ,− 2 ) . Liczba k jest równa
A) (− 5) B) 5 C) (− 4) D) 4

Zadanie 29
(1 pkt)

W trapezie ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD . Przekątne trapezu przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta AED jest równe polu trójkąta DEC .PF
|AE | ⋅|ED | = |BE |⋅|EC | PF

Zadanie 30
(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ′ ′ ′ ′ ′ ′ ABCDEFA B C D E F , w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AC ′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Objętość tego graniastosłupa jest równa
A) 225 B) 562,5 C) 112,5 D) √ -- 75 3

Zadanie 31
(2 pkt)

Dany jest okrąg O o środku w punkcie S . Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: |PB | = 4 , |PC | = 10 oraz |PD | = 6 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz promień okręgu O .

Zadanie 32
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb: 4x − 1,2x ,2x + 2,4x − 1 i 2x + 1 zwiększa się o 1 jeżeli pominiemy ostatnią liczbę. Wynika stąd, że
A) x = 9 B) x = 6 C) x = 11 D) x = 12

Zadanie 33
(1 pkt)

Punkty A = (− 12,− 3) , B = (3,0) i C = (6,3) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Wierzchołek D tego równoległoboku ma współrzędne
A) (− 3,0) B) (− 9,0) C) (− 6,3) D) (− 4,3)

Zadanie 34
(2 pkt)

Ze zbioru liczb {3 ,4,5,6,7,8,9,10,1 1,12} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 3.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania