Zadanie nr 2684645

Oblicz granicę -----n----- nl→im+∞ √ 2n+-1−√ 2n .

Rozwiązanie

Sposób I

Dzielimy licznik i mianownik przez √ -- n .

n √n-- √n-- + ∞ lim √----------√---- = lim ∘--------√----= lim ∘----------√---= ---- = + ∞ . n→ +∞ 2n + 1− 2n n→ + ∞ 2n+-1− 2 n→ +∞ 2+ 1 − 2 0 + n n

Sposób II

Skorzystamy ze wzoru (a− b )(a+ b ) = a2 − b2 , żeby pozbyć się wyrażeń typu ∞ − ∞ .
Liczymy

√ ------- √ --- n n ( 2n+ 1+ 2n) nl→im+∞ √-----------√----= nl→im+ ∞ -√----------√------√----------√-----= 2n+√ 1−----2n √ --- ( 2n + 1 − 2n )( 2n + 1 + 2n) n ( 2n + 1+ 2n) √ ------- √ --- = lim --------------------= lim n( 2n + 1 + 2n ) = + ∞ . n→ +∞ 2n + 1 − 2n n→ +∞

Odpowiedź: + ∞