/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 7642350

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trójkąt ABC jest podstawą prawidłowego ostrosłupa ABCS , którego krawędź boczna ma długość 10. Punkt D jest środkiem wysokości SO ostrosłupa oraz √ --- |AD | = 2 13 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Oznaczmy AO = x i DO = h . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AOD i AOS otrzymujemy układ równań

( ( ) { x2 + h 2 = (2 √ 13)2 2 ( x2 + h2 = 1 00.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić x 2 ) i mamy

h2 h 2 − ---= 100 − 52 = 48 4 3h2 = 48 ⇒ h2 = 64 ⇒ h = 8. 4

W takim razie z drugiego równania układu mamy

2 2 x = 100− h = 36 ⇒ x = 6.

Odcinek AO to 2 3 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie ostrosłupa, więc jeżeli oznaczymy a = AB , to

√ -- √ -- √ -- 2- a--3- a--3- -18- 18--3- √ -- x = 6 = 3 ⋅ 2 = 3 ⇒ a = √ 3 = 3 = 6 3.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

√ -- √ -- 1 1 a2 3 1 108 3 √ -- V = -Pp ⋅h = --⋅------⋅h = --⋅-------⋅ 8 = 72 3. 3 3 4 3 4

 
Odpowiedź: √ -- V = 72 3

Wersja PDF