/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 17 kwietnia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(3 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , a krawędź boczna SA jest jego wysokością. Wykaż, że suma kwadratów pól ścian ABS i BCS jest równa sumie kwadratów pól ścian ADS i DCS .

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 lo g(1+ (x − 2x) )+ |4− |5 − |3− x||| = 0 .

Zadanie 3
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli sin α − cos α jest liczbą wymierną to wymierna jest również liczba cos 4α .

Zadanie 4
(5 pkt)

Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe.

  • Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
  • Wykaż, że jeżeli długości jego boków AB ,BC ,CD ,DA są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem.

Zadanie 5
(5 pkt)

Na bokach AB i AC trójkąta ABC wybrano punkty E i D w ten sposób, że |AE | = 2|EB | i |AD | = |DC | . Punkt M jest punktem wspólnym odcinków CE i BD .

PIC

  • Przedstaw każdy z wektorów −→ − → BC ,BD oraz −→ CE w postaci → → p ⋅b + q ⋅ c , gdzie → −→ → → b = AB ,c = AC oraz p,q ∈ R .
  • Korzystając z równości −→ −→ −→ BC + CM = BM oblicz w jakim stosunku punkt M dzieli odcinki BD i CE .

Zadanie 6
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametrów a,b , dla których nierówność

(x 2 − x − 2)(x 2 − 2ax + 3bx − 6ab) ≥ 0

jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Zadanie 7
(6 pkt)

Dany jest czworokąt ABCD , gdzie A = (− 1 ,4 ),B = (− 3,− 1),C = (2,− 2),D = (1,2) .

  • Oblicz pole czworokąta ABCD .
  • Oblicz wartość wyrażenia ( )2 ( )2 sin-∡DBC- + sin∡DBA-- sin ∡BCD sin∡BAD .

Zadanie 8
(6 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej f (x) = ax dla x ∈ R .

PIC

Wykres ten przekształcono w symetrii środkowej względem punktu (1,− 1) , a następnie w symetrii osiowej względem prostej x = − 2 . Otrzymano w ten sposób wykres funkcji g(x) = b ⋅ax + c .

  • Wyznacz liczby a,b,c i naszkicuj wykres funkcji y = g(x ) .
  • Odczytaj z wykresu rozwiązanie nierówności g(x) ≤ − 5 .

Zadanie 9
(5 pkt)

Odległość środka wysokości stożka od jego powierzchni bocznej jest trzy razy mniejsza niż promień jego podstawy. Oblicz sinus kąta rozwarcia stożka.

Zadanie 10
(3 pkt)

Uzasadnij, że liczba 2735138−-1 9 −1 jest liczbą całkowitą.

Zadanie 11
(5 pkt)

Do 12 ponumerowanych szuflad wkładamy losowo 13 pojedynczych skarpetek, przy czym dokładnie dwie z nich tworzą parę. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania konfiguracji, w której żadna szuflada nie jest pusta oraz skarpetki tworzące parę znajdują się w różnych szufladach.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania