/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 13 marca 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(5 pkt)

Wykres funkcji a y = x , gdzie a ⁄= 0 przesunięto o wektor [2,3] i otrzymano wykres funkcji, która ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o równaniu x 2 − 4x + y 2 − 6y + 12 = 0 . Wyznacz .

Zadanie 2

(5 pkt)

W trójkącie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kąta, tego spośród trójkątów spełniających podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza.

Zadanie 3

(5 pkt)

Rozwiąż nierówność ||x− x2|− 3x | > x .

Zadanie 4

(5 pkt)

Oblicz iloczyn pierwszych 99 wyrazów ciągu geometrycznego (an) , w którym a 1 = − -√1-47- ( 2) oraz ∘ ----√--- ∘ ----√--- q = 3 − 5− 3 + 5 . Czy iloczyn ten jest liczbą wymierną?

Zadanie 5

(5 pkt)

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne (x,y) są rozwiązaniem układu nierówności

( |{ y + 3x ≤ 4 4y − 3x ≤ 31 |( 2y + x ≥ 3.

Oblicz pole tego obszaru.

Zadanie 6

(5 pkt)

Dane jest równanie 2 2 8x − 4nx − 4x − 5n − 3 = 0 z niewiadomą i parametrem .

Wyznacz wszystkie wartości , dla których suma odwrotności pierwiastków tego równania jest równa .
Wykaż, że jeżeli jest liczbą całkowitą, to suma kwadratów pierwiastków tego równania też jest liczbą całkowitą.

Zadanie 7

(5 pkt)

W trójkącie ABC punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty KLM są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami BC ,CA i odpowiednio.

Uzasadnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Wiedząc, że oraz oblicz miary kątów trójkąta .

Zadanie 8

(6 pkt)

Do woreczka wrzucono 3 monety 5 złotowe, 4 monety 2 złotowe, 2 monety 1 złotowe oraz 8 monet 50 groszowych. Karol losowo wyjmuje z woreczka 10 monet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje w ten sposób co najmniej 10 zł? Wynik podaj z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

Zadanie 9

(4 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA ′B′C ′D ′ jest równoległobok ABCD o bokach długości |AB | = 5 i |BC | = 4 . Oblicz długość wysokości A ′A graniastosłupa jeżeli |∡A ′BC | = 105 ∘ oraz |∡A ′CB | = 45∘ .