/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 kwietnia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie po dwóch równoległych torach i spotykają się w miejscu S . Mijanie się pociągów trwa 20 s, a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, że poruszają się ruchem jednostajnym.

Zadanie 2
(5 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji

∘ ------------------- 3 3 3 3 5− x y = --+ -2-+ -3-+ -4 + lo g2x+2 -----. x x x x 6− x

Zadanie 3
(6 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość BD dzieli przeciwprostokątną AC na odcinki o długościach |AD | = 3 i |DC | = 24 .

  • Oblicz długości boków trójkąta ABC .
  • Oblicz długość odcinka AE , gdzie E jest punktem wspólnym dwusiecznej kąta BAC i boku BC .

Zadanie 4
(4 pkt)

Dane są dwa nieskończone ciągi (x ) n i (y ) n takie, że dla każdego n ≥ 1 , punkt o współrzędnych (yn + n ,xn) jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (xn ,yn),B = (− 2,1 ),C = (4,− 3) . Wyznacz wzory ciągów (xn) i (yn ) .

Zadanie 5
(5 pkt)

Prawdopodobieństwa zdarzeń A i B oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniają warunki: P (A ∪ B ′) = 0 ,2 3 i P(A ′ ∪ B ′) = 0 ,81 .

  • Oblicz P(B ) .
  • Wykaż, że jeżeli P(A ) < 0,21 to ′ ′ P(A ∩ B ) > 0,02 .

Zadanie 6
(5 pkt)
  • Wykaż, że równanie x5 + 8x2 + x + 1 = 0 nie ma rozwiązań w przedziale ⟨− 1,1⟩ .
  • Wykaż, że równanie
    sinx cos4x − 2sinx cos2 x− 8cos2 x+ 2sin x+ 9 = 0

    nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 7
(5 pkt)

Środki okręgów o1 i o2 znajdują się po różnych stronach prostej y = − 3x+ 2 , która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu o2 jest równy √ -- 7 2 oraz, że okrąg o 1 ma równanie 2 2 (x + 1) + (y − 3) = 20 , wyznacz równanie okręgu o2 .

Zadanie 8
(5 pkt)

Proste k,l,m są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór S składający się z 3n punktów (n ≥ 3 ), przy czym na każdej z prostych wybrano n punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru S leżą na jednej prostej, to prostą tą jest k ,l lub m . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru S .

Zadanie 9
(6 pkt)

Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego ABCS o wierzchołku S mają długość ∘ ----√--- 2+ 3 . Wiedząc, że √ -- |∡ASB | = 30∘,|BC | = 3,|AC | = 2 oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 10
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których jeden z pierwiastków równania

4x 2 − 35x + m2 = 0

jest kwadratem drugiego pierwiastka. Oblicz te pierwiastki.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania