/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 1 maja 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)
  • Narysuj wykresy funkcji y = ||x+ 3|− 2 | oraz y = − |x + 1| , gdzie x ∈ R .
  • Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie ||x + 3| − 2|+ |x + 1 | = m ma dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 2
(5 pkt)

Wyznacz środek okręgu wpisanego w trójkąt, którego boki zwierają się w prostych o równaniach y = −x − 1 3, y = 7x − 5 oraz y = x + 19 .

Zadanie 3
(4 pkt)

Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.

Zadanie 4
(5 pkt)

Korzystając ze wzoru

nxn+ 1 − (n + 1)xn + 1 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ⋅⋅⋅+ nxn −1 = ----------------------, (1− x)2

który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby x ⁄= 1 , wykaż, że

( 2⋅7 4⋅73 6⋅75 8⋅77) 9 8 lo g 5---⋅5----⋅5----⋅5---- = 8-⋅7-+--9⋅7--−-1-. 5 5⋅53⋅72 ⋅55⋅74 ⋅57⋅76 64

Zadanie 5
(5 pkt)

Kwadrat o wierzchołkach A = (1,2),B = (4,1 ),C = (5,4 ),D = (2,5) przekształcono w jednokładności o skali ujemnej i otrzymano kwadrat o wierzchołkach K = (2,1),L = (8,− 1),M = (10 ,5),N = (4,7) . Wyznacz środek i skalę tej jednokładności.

Zadanie 6
(6 pkt)

Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o ilorazie q , a cosinus jednego z jego kątów jest równy q − 4 .

  • Wyznacz q .
  • Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość √ -- 2 2 , oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie 7
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (x + 3mx + 1)(x + 2x + m) = 0

ma cztery różne pierwiastki, których suma sześcianów jest równa 4.

Zadanie 8
(6 pkt)

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisujemy graniastosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że dolna podstawa graniastosłupa zawiera się podstawie ostrosłupa, a każdy z wierzchołków górnej podstawy należy do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa. Wiedząc, że każda z krawędzi ostrosłupa ma długość 6, oblicz jaka jest maksymalna możliwa powierzchnia boczna graniastosłupa.

Zadanie 9
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność |2c os4x | > 1 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Umieszczamy króla szachowego w lewym dolnym rogu 64-polowej szachownicy, a następnie siedem razy przesuwamy go losowo w górę lub w prawo (za każdym razem na nowo losujemy kierunek przesunięcia).

PIC

Zakładając, że wylosowanie każdego kierunku jest jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo, że na końcu król nie znajdzie się w rogu szachownicy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania