/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 24 kwietnia 2010 Czas pracy: 180 minut
W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają warunek .
Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i
poprowadzono wspólną styczną
, przy czym punkt
należy do pierwszego, a punkt
do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta
dzieli odcinek
na połowy.
Wyznacz największą wartość funkcji
![∘ ----------------------- f(x) = 9− 4sin22x − 8cos2 x− 3.](https://img.zadania.info/zes/0099004/HzesT9x.gif)
Trójkąt podzielono odcinkami i
na 5 trójkątów, przy czym
.
Korzystając z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta .
Malarz chcąc rozjaśnić 20 litrów granatowej farby postąpił w następujący sposób: odlał jeden litr farby i dolał 1 litr farby białej, a potem całość dokładnie wymieszał. Procedurę tę powtórzył w sumie 8 razy. Ile litrów granatowej farby pozostało w otrzymanej mieszaninie? Wynik podaj z dokładnością do 1 litra.
W sferę o promieniu wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny w ten sposób, że wszystkie wierzchołki ostrosłupa leżą na powierzchni sfery. Wiedząc, że krawędź boczna ostrosłupa ma długość 13, a krawędź podstawy długość
, oblicz
.
Wykaż, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Punkty i
są wierzchołkami trójkąta prostokątnego
, o kącie prostym przy wierzchołku
. Oblicz współrzędne wierzchołka
tego trójkąta, wiedząc, że leży on na paraboli o równaniu
.
Spośród wyrazów skończonego ciągu arytmetycznego danego wzorem
, gdzie
wybieramy losowo 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wybranych liczb jest podzielny przez 3.
Wykaż, że jeżeli liczby i
spełniają równość
to przynajmniej jedna z nich jest niewymierna.
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków
i
, a drugi do boków
i
.
Oblicz długość promienia tych okręgów.