/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Odległość punktu od prostej

Zadanie nr 1496043

Środek okręgu przechodzącego przez punkty A = (1,4) i B = (− 6,3 ) leży na osi .

Wyznacz równanie tego okręgu.
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej i oddalonej od początku układu współrzędnych o .

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

Środek okręgu możemy wyznaczyć szukając punktu , który jest równo odległy od punktów i , ale ponieważ i tak będziemy musieli pisać proste prostopadłe do (w następnym podpunkcie), to zrobimy to inaczej: napiszemy równanie symetralnej odcinka i znajdziemy jej punkt wspólny z osią .
Symetralna musi przechodzić przez środek odcinka , czyli przez punkt

$( ) ( ) 1-−-6- 4+--3- 5-7- S = 2 , 2 = − 2,2 .$

Równanie symetralnej możemy napisać pisząc najpierw równanie prostej i potem szukając prostej prostopadłej do niej i przechodzącej przez . Znacznie prościej jest jednak skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt

$p (x− x0)+ q(y− y0) = 0.$

W naszej sytuacji mamy . Daje to nam prostą

$( 5) ( 7) − 7 x+ -- − y− -- = 0 2 2 35- 7- − 7x − 2 − y + 2 = 0 ⇒ y = −7x − 14.$

Prosta ta przecina oś w punkcie . Wyliczmy jeszcze promień okręgu.

$∘ --------------------- --- AO = (−2 − 1 )2 + (0 − 4)2 = √ 2 5 = 5.$

Zatem szukane równanie okręgu to

$2 2 (x + 2) + y = 25 .$

Odpowiedź:
Wiemy już, że proste prostopadłe do są postaci . Współczynnik wyznaczymy ze wzoru na odległość punktu od prostej :
$|Ax-0 +-By0-+-C-| √ --2----2- . A + B$

W naszej sytuacji punkt ma być odległy od prostej o , co daje nam równanie

$√ -- |− 7 ⋅0 − 0 + b| |b| 2 = ∘-----------------= √---- (−7 )2 + (− 1)2 50 |b| = 1 0 ⇒ b = ± 10.$

Odpowiedź: i

Rozwiązanie Losuj ponownie