/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Odległość punktu od prostej

Zadanie nr 6357687

W układzie współrzędnych są dane punkty A = (− 4,− 2) , B = (5,4) .

Oblicz odległość punktu od prostej przechodzącej przez punkty i .
Uzasadnij, że jeśli , to punkty , oraz punkt są wierzchołkami trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Aby móc skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej musimy mieć równanie prostej . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty i :

$(y − yA )(xB − xA )− (yB − yA)(x − xA ) = 0.$

W naszej sytuacji:

$(y − (− 2))(5 − (− 4)) − (4 − (− 2))(x − (− 4))) = 0 (y+ 2)9− 6(x+ 4) = 0 9y − 6x− 6 = 0 3y − 2x− 2 = 0 2x − 3y+ 2 = 0.$

Teraz korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :

$|Ax 0 + By0 + C | ---√---2----2----. A + B$

W naszej sytuacji mamy:

$|2 ⋅(− 1)− 3⋅4 + 2| |− 2 − 12 + 2 | -------√------------ = -----√---------= 9+ 4√ --- 13 12 1 2 13 = √----= -------. 13 13$

Odpowiedź:
Co to znaczy, że 3 punkty są wierzchołkami trójkąta? – to znaczy, że nie leżą na jednej prostej. Musimy zatem sprawdzić, że punkt nie leży na prostej . Ponieważ wyliczyliśmy już równanie tej prostej, nie ma z tym problemu (wstawiamy współrzędne tego punktu do równania prostej i patrzymy, że nie wyjdzie 0):
$2 ⋅(− 1)− 3m + 2 = 3m ⁄= 0.$

Rozwiązanie Losuj ponownie