/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 5627174

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na przyprostokątnych AB i AC trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC zaznaczono odpowiednio punkty K i L tak, że |AK-|= |CL-|= 1 |KB | |LA | 2 . Odcinki BL i CK przecinają się w punkcie M . Oblicz |MB | |MK-| .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Oznaczmy AB = AC = 3a (3a , a nie a , żeby nie mieć ułamków) oraz niech ∡MKB = α,∡KBM = β . Stosując twierdzenie sinusów w trójkącie BMK mamy

MB--- MK--- MB-- sinα- sin α = sinβ ⇒ MK = sinβ .

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny ABL . Mamy w nim

AL-- ------2a-------- -2a--- --2-- sin β = BL = ∘ ----2-------2-= √ ---= √ ---. (3a) + (2a) a 13 13

Podobnie wyliczamy ∘ sinα = sin (180 − α) = sin ∡AKC . Patrzymy na trójkąt prostokątny AKC .

sin α = sin ∡AKC = CA--= ∘----3a------= -√3a--= √-3--. CK (3a )2 + a2 a 10 10

Zatem

√3-- √ --- sinα- = --10 = 3√-13. sinβ √2-- 2 10 13

 
Odpowiedź: 3√-13 3√130 2√ 10 = 20

Wersja PDF