/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 8759638

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt M jest środkiem boku AD . Udowodnij, że pole trójkąta CMB jest połową pola trapezu ABCD (AB ∥ DC ).

ZINFO-FIGURE

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

ZINFO-FIGURE

Oznaczmy długości podstaw trapezu przez AB = a, CD = b , a długość wysokości przez h .

Sposób I

Zamiast obliczać pole trójkąta BMC , obliczmy pola trójkątów CDM i BAM . Wysokość w każdym z tych trójkątów jest równa połowie wysokości trapezu. Zatem

1 h 1 h 1 (a + b)h 1 PCDM + PBAM = --b⋅ -+ --⋅a ⋅--= --⋅---------= -PABCD . 2 2 2 2 2 2 2

To oznacza, że

P = P − P − P = P − 1-P = 1P . BMC ABCD CDM BAM ABCD 2 ABCD 2 ABCD

Sposób II

Niech N będzie środkiem ramienia BC . Jak wiadomo odcinek MN jest równoległy do podstaw trapezu i ma długość a+b- 2 . Ponadto, wysokość w każdym z trójkątów CMN i NMB jest równa h2 . Zatem

1- h- 1- h- PBMC = PCMN + PNMB = 2 ⋅MN ⋅2 + 2 ⋅MN ⋅ 2 = = 1-⋅MN ⋅h = 1-⋅ (a-+-b)h-= 1PABCD . 2 2 2 2
Wersja PDF