Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2088835

Wykaż, że wielomian  4 3 2 W (x) = x − 2x + 2x − 6x+ 9 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zadanie jest trochę podchwytliwe – ma złapać uczniów stosujących schematy, więc najpierw pokażemy jak nie należy go rozwiązywać, jeżeli kogoś to nie interesuje, to może opuścić następny akapit.

Pierwszą rzeczą, którą każdy robi w takim zadaniu to sprawdza czy wielomian ten ma pierwiastki wymierne, tzn. sprawdzamy czy nie jest równy zero dla liczb postaci p q , gdzie p dzielnik wyrazu wolnego (w tym przypadku 9) a q dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze (tu 1). Jak się sprawdzi wszystkie możliwości (czyli − 1,1,− 3,3,− 9,9 ), to okazuje się, że dla żadnej z tych liczb wielomian się nie zeruje – w kontekście treści zadania nie powinno to dziwić, przecież mamy wykazać, że on się nigdy nie zeruje. W tym miejscu wiele osób może się nabrać – czy już udowodniliśmy, że ten wielomian się nie zeruje? Nie, wykazaliśmy jedynie, że nie ma on pierwiastków wymiernych i tą metodą nic więcej nie uda nam się udowodnić. Żeby jeszcze wyraźniej podkreślić dlaczego ten sposób rozwiązania do niczego nie prowadzi, rozważmy wielomian  4 W (x) = x − 3 . Ten wielomian też nie ma pierwiastków wymiernych, ale nie jest prawdą, że nie ma pierwiastków.

Po tym przydługim wywodzie, możemy w końcu wziąć się za rozwiązanie. Jeżeli chcemy wykazać, że wielomian 4 stopnia nie ma pierwiatków, to musimy wykazać, że jest on zawsze dodatni (bo dla x → + ∞ jego wartości są dodatnie, więc jeżeli ma nie mieć pierwiastków, to musi być cały czas ponad osią). Musimy więc wykazać, że

x4 − 2x3 + 2x2 − 6x + 9 > 0 dla x ∈ R .

Sposób I

Typowym trickiem na wykazanie czegoś takiego jest zapisanie lewej strony jako sumy kwadratów:

x4 − 2x3 + 2x2 − 6x + 9 = (x4 − 2x3 + x2)+ (x2 − 6x + 9) = 2 2 2 2 2 2 = x (x − 2x + 1) + (x − 3) = x (x − 1) + (x − 3 )

Pozstaje teraz zauważyć, że otrzymane wyrażenie zawsze jest dodatnie – to jest jasne pierwszy składnik zeruje się dla x = 1 lub x = 0 a drugi dla x = 3 .

Jak wpaść na powyższy rozkład? Najłatwiej zacząć od prawej części ...− 6x + 9 , żeby zrobić z tego kwadrat brakuje x2 , trzeba go więc dopisać. Dalej rozkład "robi się sam".

Sposób II

Jeżeli ktoś jakimś cudem oparł się zreformowanej edukacji i wie co to są pochodne, to mógł to zadanie zrobić „na chama". Wystarczy pokazać, że minima danego wielomianu są powyżej osi – wtedy cały wielomian jest powyżej osi (bo jest stopnia 4 i ma dodatni współczynnik przy  4 x ).

Aby to wykazać, liczymy pochodną

W ′(x) = 4x3 − 6x2 + 4x − 6 = 2 (2x 3 − 3x2 + 2x − 3).

Szukamy teraz pierwiastków wielomianu w nawiasie – jeden z nich to x = 3 2 i rozkładamy z twierdzenia Bézout. Możemy też rozłożyć wprost:

 3 2 2 2 2x − 3x + 2x − 3 = x (2x − 3)+ (2x− 3) = (2x − 3)(x + 1 )

Teraz widać, że pochodna ma jedno miesce zerowe i zmienia w nim znak z „-" na „+", co oznacza, że wyjściowa funkcja ma w tym punkcie minimum. Pozostaje teraz sprawdzić, że

 ( ) ( ) 4 ( )3 ( ) 2 ( ) W 3- = 3- − 2 3- + 2 3- − 6 3- + 9 = 4-5 > 0. 2 2 2 2 2 1 6

Jak już wcześniej zauważyliśmy, powyższa nierówność oznacza, że W (x) > 0 dla każdego x ∈ R . Dla ciekawych dołączamy wykres danego wielomianu.


PIC


Wersja PDF