/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 9068515

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest wielomian  3 2 W (x) = 2x + ax − 14x+ b .

  • Dla a = 0 i b = 0 otrzymamy wielomian  3 W (x) = 2x − 14x . Rozwiąż równanie  3 2x − 14x = 0 .

  • Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W (x) był podzielny jednocześnie przez x− 2 oraz x+ 3 .

Rozwiązanie

  • Przekształcamy podane równanie (korzystamy ze wzoru:  2 2 a − b = (a− b)(a+ b) ):

     2x3 − 14x = 0 2x (x2 − 7) = 0 √ -- √ -- 2x (x− 7)(x + 7) = 0

    Widać zatem, że lewa strona będzie równa zeru tylko gdy x = 0 ,  √ -- x = 7 lub  √ -- x = − 7 . To są wszystkie rozwiązania tego równania.  
    Odpowiedź:  { √ -- √ -} x ∈ − 7 ,0, 7

  • Na mocy twierdzenia Bézout wielomian W (p ) jest podzielny przez dwumian x − p wtedy i tylko wtedy gdy W (p) = 0 . Musimy zatem sprawdzić kiedy

    W (2) = W (− 3) = 0.

    Prowadzi to do układu równań:

    { 16+ 4a− 28+ b = 0 −5 4+ 9a+ 42+ b = 0 { 4a+ b = 12 9a+ b = 12

    Odejmując od drugiego równania pierwsze otrzymamy 5a = 0 , stąd a = 0 i b = 12 .  
    Odpowiedź: a = 0, b = 12

Wersja PDF
spinner