Dany jest wielomian W(x)=2x^3+ax^2-14x+b. Dla a=0 i b=0 otrzymamy... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 9068515

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 9068515

Dany jest wielomian $3 2 W (x) = 2x + ax − 14x+ b$ .

Dla $a = 0$ i $b = 0$ otrzymamy wielomian $W (x) = 2x 3 − 14x$ . Rozwiąż równanie $2x 3 − 14x = 0$ .
Dobierz wartości $a$ i $b$ tak, aby wielomian $W (x)$ był podzielny jednocześnie przez $x− 2$ oraz $x+ 3$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy podane równanie (korzystamy ze wzoru: $2 2 a − b = (a− b)(a+ b)$ ): $3 2x − 14x = 0 2x(x2 − 7) = 0 √ -- √ -- 2x(x − 7 )(x+ 7) = 0$
Widać zatem, że lewa strona będzie równa zeru tylko gdy $x = 0$ , $√ -- x = 7$ lub $√ -- x = − 7$ . To są wszystkie rozwiązania tego równania.
Odpowiedź: $x = 0$ , $√ -- x = 7$ lub $x = − √ 7-$
Na mocy twierdzenia Bézout wielomian $W (p )$ jest podzielny przez dwumian $x − p$ wtedy i tylko wtedy gdy $W (p) = 0$ . Musimy zatem sprawdzić kiedy $W (2 ) = W (− 3) = 0.$
Prowadzi to do układu równań:
${ 16 + 4a − 28 + b = 0 − 54 + 9a + 42 + b = 0 { 4a + b = 12 9a + b = 12$
Odejmując od drugiego równania pierwsze otrzymamy $5a = 0$ , stąd $a = 0$ i $b = 12$ .
Odpowiedź: $a = 0$ , $b = 12$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!