/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 9652854

Rozwiąż równanie ( π) ( π-) 3sin x− 4 + co s x + 4 = 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

( π-) ( π- ( π-)) ( π- ) ( π-) cos x + 4 = sin 2 − x+ 4 = sin 4 − x = − sin x− 4 .

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci

( π ) ( π ) 3 sin x− -- − sin x− -- = 1 ( 4) 4 sin x − π- = 1-. 4 2

Szkicujemy sinusa.

PIC

Mamy zatem

π { π π} { π 5π } x − -- ∈ --,π − -- = --,--- {4 6 6 } {6 6 } π- π- π- 5π- 5π- 1-3π x ∈ 4 + 6, 4 + 6 = 1 2, 12

Sposób II

Korzystamy ze wzorów na sinus/cosinus sumy/różnicy.

( ) ( ) 1 = 3sin x − π- + cos x+ π- = ( 4 4) ( ) π- π- π- π- = 3 sin x cos 4 − sin 4 cos x + cosx cos 4 − sin 4 sin x = √ -- √ -- = 2sin x− 2co sx / : 2 1- π- π- ( π-) 2 = cos 4 sinx − sin 4 cos x = sin x − 4 .

Dalej równanie rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: { } x ∈ 51π2, 131π2-

Wersja PDF