/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 9110658

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że jeżeli 2a + b ≥ 0 , to 3 3 2 2a + b ≥ 3a b .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów (próbujemy wyłączyć 2a + b przed nawias).

3 3 2 2a + b ≥ 3a b 8a3 + b3 − 6a 3 − 3a 2b ≥ 0 (2a+ b)(4a2 − 2ab + b2)− 3a2(2a + b) ≥ 0 2 2 2 (2a+ b)(4a − 2ab + b − 3a ) ≥ 0 (2a+ b)(a2 − 2ab+ b2) ≥ 0 2 (2a+ b)(a− b) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność próbując zamienić ją na iloczyn.

3 3 2 2a + b ≥ 3a b 2a3 − 3a2b + b3 ≥ 0 3 2 2 3 2a − 2a b − a b + b ≥ 0 2a2(a − b) − b(a2 − b2) ≥ 0 2a2(a − b) − b(a − b)(a + b) ≥ 0 2 (2a − b(a + b))(a − b) ≥ 0 (2a2 − ba − b2)(a − b) ≥ 0 2 2 2 (a − ba+ a − b )(a− b) ≥ 0 (a(a − b)+ (a− b)(a+ b))(a− b) ≥ 0 (2a + b)(a − b)2 ≥ 0.

Sposób III

Jeżeli b = 0 to z założenia a ≥ 0 i dana nierówność jest oczywiście spełniona. Załóżmy więc, że b ⁄= 0 .

Ponieważ nierówność jest jednorodna (każdy składnik jest jednomianem stopnia 3), możemy zamienić nierówność na nierówność, w której jest tylko jedna zmienna.

2a3 + b3 ≥ 3a2b ( 3 2) b3 2⋅ a--+ 1 − 3⋅ a-- ≥ 0 b2 b2 ( ( ) 3 ( ) 2) b3 2 a- + 1− 3⋅ a- ≥ 0. b b

Podstawiamy teraz x = ab i zajmujemy się wyrażeniem w nawiasie.

2x3 − 3x 2 + 1.

Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest x = 1 , więc dzielimy ten wielomian przez x − 1 .

2x 3 − 3x2 + 1 = (2x3 − 2x 2)− (x 2 − x )− (x − 1 ) = 2 2 = 2x (x − 1) − x(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(2x − x− 1).

Rozłóżmy jeszcze trójmian w drugim nawiasie.

Δ = 1 + 8 = 9 x1 = 1-−-3-= − 1, x 2 = 1-+-3-= 1. 4 2 4

Zatem

3 2 2 2x − 3x + 1 = (x − 1)(x − 1)(2x + 1 ) = (x− 1) (2x + 1).

Daną nierówność możemy więc zapisać w postaci

3 2 2 2 0 ≤ b (x− 1) (2x + 1) = (x − 1) (2bx + b) = (x − 1) (2a + b).

Na mocy założenia 2a + b ≥ 0 , więc nierówność ta jest oczywiście prawdziwa.

Wersja PDF