/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez kolejne wyrazy

Zadanie nr 3571853

Ciąg (an) jest arytmetyczny oraz a1 = x i a2 = 4x − 1 . Wiedząc, że a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 25 oblicz x oraz sumę a 11 + a12 + a13 + ⋅⋅⋅+ a25 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Różnica danego ciągu jest równa

r = a2 − a1 = 4x − 1 − x = 3x − 1.

Zatem

25 = a1 + a 2 + a3 + a4 + a5 = = a1 + (a 1 + r) + (a1 + 2r)+ (a1 + 3r)+ (a1 + 4r) = = 5a + 10r = 5x + 10(3x − 1) = 35x − 10 1 3 5 = 35x x = 1.

Stąd a1 = 1,r = 2 i ze wzoru na sumę Sn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

a11 + a 12 + a13 + ⋅⋅⋅+ a25 = S25 − S10 = 2a1-+-24r- 2a1 +-9r- = 2 ⋅25 − 2 ⋅1 0 = = (a + 12r)⋅ 25− (2a + 9r)⋅5 = 25⋅ 25− 20⋅ 5 = 1 1 = 25(25 − 4) = 25⋅2 1 = 525.

 
Odpowiedź: x = 1 , suma: 525

Wersja PDF