Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3598115

Wykazać, że odcinki łączące kolejne środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku tworzą także kwadrat.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczniemy od obserwacji, że cztery trójkąty AP S ,BP Q ,CRQ i DRS są przystające.


PIC


Rzeczywiście, mają dwie pary równych boków

AP = BP = CR = DR oraz AS = BQ = CQ = DS ,

oraz w każdym z tych trójkątów boki te spotykają się pod tym samym kątem

∡SAP = ∡3 60∘ − ∡DAS − ∡BAP − ∡DAB = 270∘ − ∡DAB ∡QBP = ∡QBC + ∡CBA + ∡ABP = 4 5∘ + 1 80∘ − ∡DAB + 4 5∘ = ∘ = 270 − ∡DAB ∡QCR = ∡3 60∘ − ∡QCB − ∡BCD − ∡RCD = 270∘ − ∡DAB ∘ ∘ ∘ ∡SDR = ∡SDA + ∡ADC + ∡CDR = 45 + 18 0 − ∡DAB + 45 = = 270∘ − ∡DAB .

Z przystawania trójkątów AP S,BP Q ,CRQ i DRS otrzymujemy

SP = PQ = QR = RS ,

czyli czworokąt P QRS jest rombem.

Ponadto,

∡SP Q = ∡SPA + ∡AP B − ∡QP B = ∡AP B = 90∘.

Jest to więc kwadrat.

Wersja PDF