Zadanie nr 8114891

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A = (0,2) i B = (2,0) oraz jest styczny do prostej w punkcie C = (1,a) , gdzie a > 1 . Wyznacz równanie prostej .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Środek okręgu musi być punktem wspólnym prostych y = 2 i x = 2 , czyli jest to punkt S = (2,2) . Promień okręgu jest równy 2, więc okrąg ten ma równanie

(x − 2)2 + (y − 2)2 = 4.

Wiemy, że punkt leży na pionowej prostej x = 1 , sprawdźmy jakie punkty okręgu leżą na tej prostej. Podstawiamy x = 1 w równaniu okręgu.

2 2 (1 − 2) + (y− 2) = 4 (y − 2)2 = 3 √ -- √ -- y − 2 = − 3 ∨ y − 2 = 3 √ -- √ -- y = 2 − 3 ∨ y = 2 + 3.

Ponieważ √ -- 2 − 3 < 1 musi być √ -- C = (1,2 + 3) .

Sposób I

Szukana prosta to prosta prostopadła do prostej i przechodząca przez punkt . Można więc napisać równanie prostej wyznaczając najpierw równanie prostej , a potem pisząc równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez . My jednak skorzystamy z gotowego wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→ −→ √ -- √ -- v = SC = [1 − 2,2 + 3 − 2] = [− 1, 3]

oraz √ -- P = C = (1,2 + 3) . Prosta ma więc równanie

√ -- √ -- −√ -1(x− 1)+ 3√(y− 2− 3) = 0 3y − x − 2 − 2 3 = 0 .

Sposób II

Proste przechodzące przez przez punkt mają postać

√ -- y = a(x − 1) + 2+√ -- 3 y − ax + a− 2 − 3 = 0.

Prosta ta będzie styczna do danego okręgu dokładnie wtedy, gdy jej odległość od punktu będzie równa 2. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :