Zadanie nr 9398491

Ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem 2 2 x + y − 2x − 6y = 0 jeśli M = (2009,40 12) oraz N = (− 50,− 106) .

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od napisania równania prostej . Można to zrobić używając równania prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru: szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów i otrzymujemy układ równań

{ 4012 = 2 009a + b − 106 = − 50a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby zredukować ) i mamy

41 18 = 2059a

Zatem a = 2 i b = −1 06+ 50a = − 6 . Równanie prostej ma więc postać y = 2x− 6 .

Sposób I

Podstawiamy y = 2x − 6 do równania okręgu i sprawdzamy ile rozwiązań ma otrzymane równanie kwadratowe.

x 2 + (2x − 6 )2 − 2x − 6(2x − 6) = 0 x 2 + 4x 2 − 2 4x+ 36 − 2x − 12x + 3 6 = 0 2 5x − 3 8x+ 72 = 0 Δ = 382 − 20 ⋅72 = 1 444− 1440 = 4 > 0.

To oznacza, że prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.

Sposób II

Tym razem przekształćmy równanie okręgu, żeby zobaczyć jaki jest jego środek i promień.

x 2 + y 2 − 2x − 6y = 0 2 2 (x − 1 ) + (y − 3) − 1 − 9 = 0 2 2 (x − 1 ) + (y − 3) = 10.

Jest to więc okrąg o środku S = (1,3) i promieniu √ --- r = 10 . Aby ustalić jakie jest jego położenie względem prostej liczymy jak jest odległość punkt od prostej MN : y − 2x + 6 = 0 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu S = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :