Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8114891

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A = (0,2) i B = (2,0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C = (1,a) , gdzie a > 1 . Wyznacz równanie prostej l .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Środek okręgu musi być punktem wspólnym prostych y = 2 i x = 2 , czyli jest to punkt S = (2,2) . Promień okręgu jest równy 2, więc okrąg ten ma równanie

(x − 2)2 + (y − 2)2 = 4.

Wiemy, że punkt C leży na pionowej prostej x = 1 , sprawdźmy jakie punkty okręgu leżą na tej prostej. Podstawiamy x = 1 w równaniu okręgu.

 2 2 (1 − 2) + (y− 2) = 4 (y − 2)2 = 3 √ -- √ -- y − 2 = − 3 ∨ y − 2 = 3 √ -- √ -- y = 2 − 3 ∨ y = 2 + 3.

Ponieważ  √ -- 2 − 3 < 1 musi być  √ -- C = (1,2 + 3) .

Sposób I

Szukana prosta l to prosta prostopadła do prostej SC i przechodząca przez punkt C . Można więc napisać równanie prostej l wyznaczając najpierw równanie prostej SC , a potem pisząc równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez C . My jednak skorzystamy z gotowego wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→ −→ √ -- √ -- v = SC = [1 − 2,2 + 3 − 2] = [− 1, 3]

oraz  √ -- P = C = (1,2 + 3) . Prosta l ma więc równanie

 √ -- √ -- −√ -1(x− 1)+ 3√(y− 2− 3) = 0 3y − x − 2 − 2 3 = 0 .

Sposób II

Proste przechodzące przez przez punkt C mają postać

 √ -- y = a(x − 1) + 2+√ -- 3 y − ax + a− 2 − 3 = 0.

Prosta ta będzie styczna do danego okręgu dokładnie wtedy, gdy jej odległość od punktu S będzie równa 2. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy równanie

 √ -- |2− 2a+ a− 2 − 3 | -------√------2-------= 2 √ 1+ a ∘ ------ |− a − 3| = 2 1+ a2 /()2 2 √ -- 2 a + 2a 3+ 3 = 4 + 4a 2 √ -- 0 = 3a − 2a 3 + 1 Δ = 1 2− 12 = 0 √ -- √ -- a = −b--= 2--3-= --3. 2a 6 3

Prosta l ma więc równanie

 √ -- √ -- y = --3(x − 1 )+ 2 + 3 3-- -- √ 3 2√ 3 y = ---x + 2 + ----. 3 3

 
Odpowiedź: √ -- √ -- 3y − x − 2 − 2 3 = 0 lub równoważnie  √ - √ - y = --3x + 2 + 2--3 3 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!