Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6767023

W czworokącie P QRS mamy |P Q| = 2 006 , QR = 2008 , RS = 2007 , SP = 20 09 . Przy których wierzchołkach kąty wewnętrzne czworokąta mają zawsze miarę mniejszą niż 180∘ ?
A) P ,Q,R B) Q ,R,S C) P ,Q ,S D) P ,R ,S E) P ,Q ,R,S

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy, że gdy mamy czworokąt o bokach a,b,c,d , który ma kąt większy od 1 80∘ jak na obrazku, to a + b > c + d .


PIC


Najprościej sobie to wyobrazić, gdy myślimy, że wyprostowujemy ten jeden kąt większy od 180 ∘ . Dostaniemy wtedy trójkąt z bokami d+ c,a,b . Jest też, na odwrót, jeżeli w czworokącie mamy a+ b > c+ d , to można zmienić ten czworokąt tak, aby kąt pomiędzy bokami długości c i d był większy od  ∘ 18 0 – aby to sobie wyobrazić, znowu należy sobie myśleć, że przechodzimy przez trójkąt o bokach d + c,a,b (prostujemy kąt między c i d ).

Musimy więc popatrzeć dla których z boków naszego czworokąta zachodzi taki warunek. Ja się przyjrzymy, to mamy tylko jedną taką możliwość:

200 9+ 2007 > 20 06+ 2008,

która odpowiada kątowi przy wierzchołku Q .  
Odpowiedź: D

Wersja PDF