/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Kwadrat w podstawie

Zadanie nr 2162914

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 25. Ściany boczne ABS i BCS mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne ADS i CDS też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne AS i CS mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy ostrosłup – na rysunku zaznaczyliśmy wysokości ścian bocznych: SK ,SL ,SM ,SN oraz wysokość ostrosłupa SP .

PIC

Podane pola ścian bocznych pozwalają nam obliczyć długości wysokości ścian bocznych.

25 0 =P = P = 1-⋅25 ⋅SK ⇒ SK = SL = 20 ABS BCS 2 1 187 ,5 =PADS = PCDS = --⋅25 ⋅SM ⇒ SM = SN = 15. 2

Zauważmy, że równość SK = SL oznacza, że trójkąty prostokątne SKP i SLP są przystające. Podobnie, z równości SM = SN otrzymujemy przystawanie trójkątów prostokątnych SMP i SNP . W szczególności jeżeli oznaczymy x = PK , to PL = x i P N = PM = 25 − x . Aby obliczyć x piszemy twierdzenia Pitagorasa w trójkątach SKP i SNP .

{ 2 2 2 SP + P K = SK SP2 + P N 2 = SN 2 { H 2 + x 2 = 202 H 2 + (2 5− x )2 = 152.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić 2 H ) i mamy

2 2 x − (625 − 50x + x ) = 400− 225 50x = 8 00 ⇒ x = 1 6.

Patrzymy teraz raz jeszcze na pierwsze równanie układu i obliczamy z niego wysokość ostrosłupa.

2 2 H = 400 − x = 400− 256 = 1 44 ⇒ H = 12.

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.

1- 1- 2 V = 3Pp ⋅H = 3 ⋅25 ⋅ 12 = 2500 .

 
Odpowiedź: 2500

Wersja PDF