Zadanie nr 2162914
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości 25. Ściany boczne
i
mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne
i
też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne
i
mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Szkicujemy ostrosłup – na rysunku zaznaczyliśmy wysokości ścian bocznych: oraz wysokość ostrosłupa
.
Podane pola ścian bocznych pozwalają nam obliczyć długości wysokości ścian bocznych.
![25 0 =P = P = 1-⋅25 ⋅SK ⇒ SK = SL = 20 ABS BCS 2 1 187 ,5 =PADS = PCDS = --⋅25 ⋅SM ⇒ SM = SN = 15. 2](https://img.zadania.info/zad/2162914/HzadR3x.gif)
Zauważmy, że równość oznacza, że trójkąty prostokątne
i
są przystające. Podobnie, z równości
otrzymujemy przystawanie trójkątów prostokątnych
i
. W szczególności jeżeli oznaczymy
, to
i
. Aby obliczyć
piszemy twierdzenia Pitagorasa w trójkątach
i
.
![{ 2 2 2 SP + P K = SK SP2 + P N 2 = SN 2 { H 2 + x 2 = 202 H 2 + (2 5− x )2 = 152.](https://img.zadania.info/zad/2162914/HzadR16x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy
![2 2 x − (625 − 50x + x ) = 400− 225 50x = 8 00 ⇒ x = 1 6.](https://img.zadania.info/zad/2162914/HzadR18x.gif)
Patrzymy teraz raz jeszcze na pierwsze równanie układu i obliczamy z niego wysokość ostrosłupa.
![2 2 H = 400 − x = 400− 256 = 1 44 ⇒ H = 12.](https://img.zadania.info/zad/2162914/HzadR19x.gif)
Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.
![1- 1- 2 V = 3Pp ⋅H = 3 ⋅25 ⋅ 12 = 2500 .](https://img.zadania.info/zad/2162914/HzadR20x.gif)
Odpowiedź: 2500