/Konkursy/Zadania

Zadanie nr 6659370

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że odcinek MQ łączy środki boków w trójkącie ABD . Jest on więc równoległy do odcinka AD . Podobnie, odcinek PN łączy środki boków trójkąta ACD , więc też jest równoległy do AD . Zatem

MQ ∥ AD ∥ P N ⇒ MQ ∥ PN .

Aby dokończyć dowód wystarczy teraz zauważyć, że odcinki te mają też równą długość

1 MQ = P N = --AD , 2

lub wykazać, że odcinki MP i QN są do siebie równoległe, a tak jest, bo oba są równoległe do BC (łączą środki boków w trójkątach ABC i DBC ).

Sposób II

Umieśćmy czworokąt w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0) , B = (2b,0) , C = (2c1,2c2) i D = (2d 1,2d2) . Wtedy

M = A-+-B--= (b,0 ) 2 C + D N = ---2--- = (c1 + d1,c2 + d2) P = A-+--C-= (c1,c2) 2 B-+--D- Q = 2 = (b+ d1,d2).

Teraz sprawdzamy, że proste MQ i PN mają takie same współczynniki kierunkowe. Współczynnik kierunkowy prostej MQ jest równy

--d2 −-0-- d-2 b+ d − b = d , 1 1

a współczynnik kierunkowy prostej PN jest równy

c2 +-d2 −-c2 d2- c + d − c = d . 1 1 1 1

Skoro liczby te są równe, odcinki MQ i PN są równoległe.

Aby dokończyć zadanie, albo zauważamy, że

2 2 2 2 2 2 2 2 |MQ | = (b+ d1 − b) + d2 = d1+ d2 = (c1+ d 1− c1) + (c2 + d2− c2) = PN ,

albo sprawdzamy, że proste MP i QN mają takie same współczynniki kierunkowe (tak samo jak powyżej).

Sposób III

Zauważmy, że

−→ −→ −→ 1− → 1-→ 1-−→ MQ = MB + BQ = 2AB + 2BD = 2AD

Podobnie,

P−→N = −P→C + −C→N = 1−AC→ + 1C→D = 1A−D→ . 2 2 2

To oznacza, że odcinki MQ i P N są równoległe i mają równe długości.

Wersja PDF