Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9398491

Ile punktów wspólnych ma prosta MN z okręgiem  2 2 x + y − 2x − 6y = 0 jeśli M = (2009,40 12) oraz N = (− 50,− 106) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpocznijmy od napisania równania prostej MN . Można to zrobić używając równania prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru: szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów M i N otrzymujemy układ równań

{ 4012 = 2 009a + b − 106 = − 50a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby zredukować b ) i mamy

41 18 = 2059a

Zatem a = 2 i b = −1 06+ 50a = − 6 . Równanie prostej MN ma więc postać y = 2x− 6 .

Sposób I

Podstawiamy y = 2x − 6 do równania okręgu i sprawdzamy ile rozwiązań ma otrzymane równanie kwadratowe.

x 2 + (2x − 6 )2 − 2x − 6(2x − 6) = 0 x 2 + 4x 2 − 2 4x+ 36 − 2x − 12x + 3 6 = 0 2 5x − 3 8x+ 72 = 0 Δ = 382 − 20 ⋅72 = 1 444− 1440 = 4 > 0.

To oznacza, że prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.

Sposób II

Tym razem przekształćmy równanie okręgu, żeby zobaczyć jaki jest jego środek i promień.

x 2 + y 2 − 2x − 6y = 0 2 2 (x − 1 ) + (y − 3) − 1 − 9 = 0 2 2 (x − 1 ) + (y − 3) = 10.

Jest to więc okrąg o środku S = (1,3) i promieniu  √ --- r = 10 . Aby ustalić jakie jest jego położenie względem prostej MN liczymy jak jest odległość punkt S od prostej MN : y − 2x + 6 = 0 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu S = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji mamy

 |3 − 2+ 6| 7 d = --√-------- = √---. 1 + 4 5

Teraz wystarczy zauważyć, że

 49 50 d 2 = ---< ---= 10 = r2. 5 5

To oznacza, że prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.

Na koniec obrazek dla ciekawskich.


PIC


 
Odpowiedź: 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!