Zadanie nr 1309734

Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok , gdzie A = (2,1) i B = (5,2) . Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x − y − 3 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołka .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Prosta y = 2x − 3 powstaje z prostej y = 2x przez przesunięcie o trzy jednostki w dół, oraz przechodzi przez punkty (2,1) , (1,− 1) .

Sposób I

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i jest jego podstawą, wierzchołek leży na symetralnej odcinka . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora → v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [3,1] oraz

( 2+ 5 1 + 2 ) ( 7 3) (x0,y0) = S = -----,------ = --,-- . 2 2 2 2

Zatem symetralna odcinka ma równanie

( 7) ( 3) 3 x − -- + y− -- = 0 2 2 21- 3- 3x− 2 + y − 2 = 0 y = − 3x + 12.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z podaną prostą y = 2x − 3 . Podstawiamy do powyższego równania.

2x − 3 = − 3x + 1 2 5x = 1 5 ⇐ ⇒ x = 3 .

Stąd y = 2x − 3 = 3 . Zatem C = (3,3) .

Sposób II

Szukamy punktu C = (x,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |CB | (bo trójkąt ABC ma być równoramienny i jest jego podstawą). Ponieważ punkt leży na prostej y = 2x − 3 jego współrzędne możemy zapisać w postaci C = (x,2x − 3) i dostajemy równanie